Vortrag zur Eulerschen Zahl, Grenzwertbildung

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Pathetic Auf diesen Beitrag antworten »
Vortrag zur Eulerschen Zahl, Grenzwertbildung
Hallo, ich soll bis Montag in Mathe zeigen, dass

lim(1+1/n)^n = e ist für n-->unendlich...

Ich hab mir schon alles mögliche im Forum hier und auch alles adnere im Internet angeschaut, habe aber nicht genau das gefunden was mir weiterhilft, ich weiß nicht, wie ich die Konvergenz dieser Folge beweisen soll, da wir sowa sin Mathe grade erst anfangen, bzw. davor nicht gemacht haben. Hier im Fourm steht alles mögliche mit e^x und Exponentialfunktionen etc. aber das hilft mir alles nicht weiter....

wär cool wenn mir jemand zeigen könnte, wie ich sauber beweise das die Folge konvergent ist und renzwert e hat.

greets smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Sollst du zeigen, dass der Grenzwert e ist oder sollst du zeigen, dass die Folge nur konvergiert (und den Grenzwert nennst du dann e)? In ersterem Falle müsstest du uns noch mitteilen, wie ihr e definiert habt Augenzwinkern
 
 
Pathetic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeige zuerst, dass die Folge einen Grenzwert hat(am Bsp. stetiger Verzinsung), sage dann das der Grenzwert die Eulersche zahl e ist, und soll diese aussage dann mathematisch beweisen. e wird definiert als

e = lim (1+ 1/n)^n (n-->unendlich)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pathetic
Ich zeige zuerst, dass die Folge einen Grenzwert hat(am Bsp. stetiger Verzinsung), sage dann das der Grenzwert die Eulersche zahl e ist, und soll diese aussage dann mathematisch beweisen. e wird definiert als

e = lim (1+ 1/n)^n (n-->unendlich)

Unsinn:
rot: du definierst das so
blau: du beweist deine Definition!?

Mach dir erst mal klar, was du genau machen willst/sollst.
Pathetic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich behaupte:

lim (1 + 1/n)^n = e, da ich vorher gezeigt habe, das die Folge einen Grenzwert haben muss... Behauptung ist also, das der Grenzwert e ist
und das soll ich dann zeigen bzw. beweisen... Wieso stimmt das nicht ?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pathetic
Ja ich behaupte:

lim (1 + 1/n)^n = e, da ich vorher gezeigt habe, das die Folge einen Grenzwert haben muss... Behauptung ist also, das der Grenzwert e ist
und das soll ich dann zeigen bzw. beweisen... Wieso stimmt das nicht ?

Na wenn du e als Grenzwert dieser Folge definierst, bleibt doch ncihts mehr zu beweisen, außer, dass die Folge einen Grenzwert besitzt.
Pathetic Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut ich glaube ich weiß jetzt was mein fehler war ^^ bin noch n bischen verwirrt glaub ich... Also ich hab besagte Folge und man sieht eben das sie nen grenzwert hat. Jetzt such ich den Grenzwert (wird später e sein was ich aber noch NICHT sage). Wie mach ich das jetzt Augenzwinkern hoffe so stimmts

edit: Also im Grunde will ich darauf hinaus, wa sich schon in einem Beitrag in diesem Forum gelesen habe :

Zitat:
also ich bin fan der definition von e als grenzwert von (1+(1/n))^n, da hier doch wunderbar das Fundamentalaxiom der Analysis zum Einsatz kommt, und dieses zu trainieren lohnt sich mMn immer! der übliche beweis (der konvergenz der folge) ist doch echt sauber!


Ich brauche im Grunde Hilfe, die Konvergenz dieser folge zu beweisen... Da ich alle anderen Beweise im Forum/Internet nicht verstehe...

hoffe das passt so
crow Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du konvergenz zeigen willst würde ich den Satz
"jede monotone und beschränkte Zahlenfolge ist konvergent"
du musst zeigen, dass diese zahlenfolge monoton und beschränkt ist
nachweisen ob es sich um eine beschränkte zahlenfolge handelt gelingt dir wenn du den binomischen lehrsatz auf den ausdruck anwendest.
um zu zeigen, dass die folge monoton wächst. formst du den ausdruck ebenfalls mit dem binomischen lehrsatz um
dann gibst du den ausdruck auch für das n+1 glied an
versuch es mal
der binomische lehrsatz ist übrigens die verallgemeinerung der binomischen formel (a+b)²=a²+2ab+b²
und der binomische lehrsatz gibt den ausdruck für (a+b)^n an
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crow
um zu zeigen, dass die folge monoton wächst. formst du den ausdruck ebenfalls mit dem binomischen lehrsatz um
dann gibst du den ausdruck auch für das n+1 glied an

Ob dieser Weg gelingt, bin ich mir nicht so sicher.

Ich fasse die Beweisidee nochmal zusammen:
Zunächst definieren wir die Folge:


Zum Beweis der steigenden Monotonie zeigst du die Eigenschaft:


Zum Beweis, daß die Folge nach oben beschräkt ist, wendest du den binomischen Lehrsatz an und machst eine geeignete Abschätzung.
crow Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem binomischen lehrsatz bei der monotonie meinte ich, um zu sehen, dass das glied (n+1) einen summanden mehr hat als das glied n
und dann kann man noch zeigen dass
wegen n<n+1
1-k/n<1-k/(n+1) gilt
daraus kann man folgern dass x_n<x_(n+1)
so meinte ich das
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist das immer noch klar. Nehmen wir:

und


Summe2 hat zwar einen Summanden mehr, aber warum deswegen Summe2 > Summe1 sein soll (was zwar stimmt), ist für mich so nicht erkennbar.
Pathetic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zum Beweis, daß die Folge nach oben beschräkt ist, wendest du den binomischen Lehrsatz an und machst eine geeignete Abschätzung.


Okay gut.. das mit der Monotonie hab ich inzwischen, aber das Problem ist, dass mir der binomische Lehrsatz noch Sorgen macht, da ich (meines wissens nach) davon noch nichts gehört hab, bzw.. ihn nicht mehr kenne ^^

Hab mich mal bei wiki schlau gemacht, da steht dann was mit nem k.. meine Frage, was ist k und was mach ich damit, welchen wert geb ich ihm ?

Und, was meintest du mit geeigneter Abschätzung... danke schonmal für die Hilfe
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehm mal an du hast bei Wiki die Form gesehn:
für

Und du willst jetzt genau wissen was k ist ?
Also liegt das problem eher bei der summenschreibweise ?
Das liesse sich so lösen:



Und diese Summe jetzt abzuschätzen bedeutet einfach geeignet Summanden weglassen oder hinzufügen und dann des entsprechende größer oder kleiner Zeichen zu setzten.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pathetic
Okay gut.. das mit der Monotonie hab ich inzwischen, aber das Problem ist, dass mir der binomische Lehrsatz noch Sorgen macht, da ich (meines wissens nach) davon noch nichts gehört hab, bzw.. ihn nicht mehr kenne ^^

Kannst du den Beweis mit der Monotonie mal hier hinschreiben?
Ich frage das aus folgenden Gründen:

1. Die Aufgabe ist durchaus nicht trivial und der Beweis gehört eher zum Erstsemester-Stoff an der Uni.
2. Da du mit dem binomischen Lehrsatz wenig bis gar nicht vertraut bist, frage ich mich, warum und in welchem Zusammenhang man dir diese Aufgabe stellt.
3. Da ich momentan das Gefühl habe, daß deine mathematische Grundausstattung die eine oder andere Lücke hat, kann es ja nicht schaden, wenn noch jemand mal über deinen Beweis drüberschaut. Augenzwinkern
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