Rang der Matrix, Lösungsraum des LGS, Dimension des Lösungsraums

13.11.2009, 16:46

tgeucihtnairk

Rang der Matrix, Lösungsraum des LGS, Dimension des Lösungsraums

Guten Tag,

Ich habe wie im Titel bereits erwähnt ein Problem mit einer Matrix / einem linearen Gleichungssystem

Es sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich in Abhängigkeit von alpha den Rang, den Lösungsraum des Gleichungssystems und die Dimension des Lösungsraums bestimmen.

Ich habe schon eine Weile mit dem Gauß-Algorithmus versucht, die Matrix in die obere Dreiecksform zu bringen, aber mir gelingt es einfach nicht.

Kann mir jemand ein paar Hinweise geben, wie ich dass sinnvoll anstelle? Vielleicht eine erste Umformung?

Verstehe ich es richtig, dass der Lösungsraum letzten Endes nichts anderes als die Lösung des Gleichungssystems ist?

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Gruß
Carsten

13.11.2009, 17:31

outSchool

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RE: Rang der Matrix, Lösungsraum des LGS, Dimension des Lösungsraums
Hallo Carsten,

1. Schritt:
2. Zeile = 2. Zeile - 3. Zeile
3. Zeile = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -fache der 2. Zeile - 1. Zeile
1. Zeile = 3. Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha - 1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha^2-1 & \alpha - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Schritt
3. Zeile = 3. Zeile - $\begin{eqnarray*} (\alpha+1) \end{eqnarray*}$ -fache 2. Zeile

Jetzt hast du schon mal die obere Dreiecksmatrix. Jetzt noch die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ finden zu Rang 3, 2 oder 1.

Alternativ kannst du den Rang auch über die Determinante ermitteln.

13.11.2009, 18:09

tgeucihtnairk

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Ich habe meinen Beitrag gerade nochmal gelöscht. Kann ich einfach wie in deinem 1. Schritt angegeben die 1. Zeile gleich der 3. Zeile setzen?

13.11.2009, 18:25

tgeucihtnairk

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Wenn ich den Teil 1. Zeile = 3. Zeile im 1. Schritt auslasse komme ich nach dem 1. Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha ^{2}-1 & \alpha ^{2}-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nach dem 2. Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & 0 & 2\alpha ^{2}-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wofür sollte ich dann die 1. Zeile überhaupt gleich der 3. setzen?

14.11.2009, 12:02

tgeucihtnairk

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Kann mir hierbei noch irgendjemand helfen?

Gruß Carsten

14.11.2009, 14:06

outSchool

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Zitat:

Original von tgeucihtnairk
Wenn ich den Teil 1. Zeile = 3. Zeile im 1. Schritt auslasse komme ich nach dem 1. Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha ^{2}-1 & \alpha ^{2}-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, sondern

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha ^{2}-1 & \alpha -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tgeucihtnairk
Wofür sollte ich dann die 1. Zeile überhaupt gleich der 3. setzen?

Damit du nicht noch für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ den Rang von A prüfen musst.
Allgemein sucht man für die erste Pivotposition eine 1, wenn man die Matrix A auf Zeilenstufenform bringt. Also

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha ^{2}-1 & \alpha -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & 0 & \alpha^2 + \alpha - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1-\alpha \\ 0 & 0 & (\alpha-1) \cdot \alpha + 2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welchen Rang hat nun die Matrix A für

$\begin{eqnarray*} \alpha \notin \{-2, 1 \} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} \alpha = -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2009, 16:15

tgeucihtnairk

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Der Rang wäre 1 für alpha = -2 und 2 für alpha = 1 und für alles andere ist der Rang 3.

Aber irgendwie versteh ich Deine Notation scheinbar falsch. Denn ich komme nach wie vor nach dem ersten Schritt für a33 auf $\begin{eqnarray*} \alpha ^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ . zumindest wenn ich es so rechne, wie ich deine Notation verstehe.....

Aber gut....ich werde dann wohl mal in eine Sprechstunde gehen.

Trotzdem vielen Dank für Deine Bemühungen!!

14.11.2009, 17:34

tgeucihtnairk

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Ich habe es verdreht

rang (A) = 1 für alpha = 1
rang (A) = 2 für alpha = -2
rang (A) = 3 sonst

14.11.2009, 19:43

outSchool

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RE: Rang der Matrix, Lösungsraum des LGS, Dimension des Lösungsraums

Zitat:

Original von outSchool
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha - 1 & 1-\alpha \\ 0 & \alpha^2-1 & \alpha - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Schritt
3. Zeile = 3. Zeile - $\begin{eqnarray*} (\alpha+1) \end{eqnarray*}$ -fache 2. Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & \alpha - 1 & 1-\alpha & |\cdot (\alpha + 1) \\ 0 & \alpha^2-1 & \alpha - 1 & \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

das gibt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & \alpha^2 - 1 & 1-\alpha^2 \\ 0 & \alpha^2-1 & \alpha - 1 \\ -- & ---- & ------ \\ 0 & 0 & \alpha - 2 + \alpha^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tgeucihtnairk
Ich habe es verdreht

rang (A) = 1 für alpha = 1
rang (A) = 2 für alpha = -2
rang (A) = 3 sonst

Die Ergebnisse sind richtig.
Freude

14.11.2009, 20:06

tgeucihtnairk

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Mein Problem mit Deinen Umformungen ist, dass sie in meinem Skript so nicht drin stehen.

Laut meinem Skript dürfen wir
1. Spalten vertauschen
2. Zeilen vertauschen
3. Skalieren
4. Addieren / Subtrahieren

Mit den 4 Umformungen soll es dann möglich sein, jedes LGS in die obere Dreiecksform zu bringen.

Kannst Du mir mit den angegebenen Umformungen weiterhelfen?

14.11.2009, 20:48

outSchool

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Ich weiss nicht, was du unter skalieren verstehst, aber deine Angaben sind ein wenig dürftig.
Du hast in deiner Aufgabenstellung das Lösen eines homogenenen linearen Gleichungssystem angegeben. Wenn du Spalten und Zeilen vertauschst, stimmt evtl. deine Lösung nicht mehr.
In der Theorie zu Linearen Gleichungssystemen ist es üblich eine Matrix durch elementare Zeilenumformungen oder elementare Spaltenumformungen auf Zeilenstufenform zu bringen.
Unter einer elementaren Zeilenumformung versteht man
(1) Vertauschen zweier Zeilen,
(2) Multiplikation einer Zeile mit einem Körperelement <> 0,
(3) Addition eines beliebigen skalaren Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Ganz analog gilt dies für elementare Spaltenumformungen.

Wenn du mehr darüber wissen willst, das steht in jedem Buch zur Linearen Algebra.
Ich hoffe, das hilft dir ein wenig weiter.

14.11.2009, 21:24

tgeucihtnairk

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Ja, gut.
Die elementaren Umformungen wurden bei uns in meine vier Punkte unterteilt. Sagen letzten Endes das gleiche aus wie deine drei Punkte.
Doch irgendwie bin ich damit nicht so recht dahin gekommen wo ich hin wollte, nämlich auf die obere Dreiecksform.
Ich werde wie gesagt mal in eine Sprechstunde gehen und da mal jemanden löchern ^^
Aber vielen Dank für die Hilfe!! Freude

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