Konstruieren Sie für R-Vektorräume eine Basis

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruieren Sie für R-Vektorräume eine Basis
Guten Abend Matheboarder! Wink
Ich habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe

Konstruieren Sie für die folgenden R-Vektorräume jeweils eine Basis:



Ich glaube, dass noch ganz einfach ist. Da es sich hier um eine Ebene im handelt, wird sie nur von 2 Vektoren aufgespannt. Ich nenne sie hier und . Nun könnte man ja hier über einfaches Ausprobieren auf zwei linear unabhänige Vektoren kommen.
Etwa:
und
(wenn ich mich jetzt nicht irre)
Einzige Frage hierzu: Würdet ihr euch die Vektoren auch durch "ausprobieren" aussuchen?

Aber wie mache ich es jetzt mit habndelt es sich hier auch um Ebenen oder schon um Räume? Bin mir hier jetzt sehr unschlüssig, da wir uns im .Vom Kopf her würde ich die auch wieder für Ebenen halten, mein Bauch sagt mir aber etwas anderes. unglücklich
Über Hilfe zu der genannten Aufgabe würde ich mich freuen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für tut's auch schon

Die Gleichungen für beschreiben Ebenen im , da jeweils eine weitere Koordiante frei ist, sind das also 3-dimensionale Unterräume von . Da gab's doch mal einen Dimensionssatz . Oder so ähnlich ?
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ah verstehe ich ddas richtig gerade, dass ich die beiden Räume die in stehen erst schneiden soll? Mhh dachte zuerst das wären jetzt zwei unterschiedliche Aufgaben in(Ich hoffe du weist was ich meine). Aber ich soll dan erst die Formel, die du mir gegeben hast anwenden. Un den neuen Raum den ich bekomme dann auf die Basis hin untersuchen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, würde ich mal so sehen. Wenn du die Dimension des Durchschnitts kennst, weißt du nach dem Dimensionssatz, wieviele Basisvektoren du finden mußt.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ja vielen Dank bis hierhin Freude . Werde dann mal den Dimensionssatz durchgehen und dir dann an dieser Stelle hoffentlich, im verlauf des morgigen Tages, die Lösung präsentieren können. Aber heute abend mache ich das nicht mehr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Habe eben noch mal nachgedacht, und jetzt sehe ich die Sache folgndermaßen. In müssen beide Gleichungen gelten, also ist .
sind nicht gleich, also ist . Damit ergibt der Dimensionssatz .
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh verstehe ich jetzt niht so ganz. Also von vorherein denke ich, dass bei dir
und
ist oder?

Also gut der Dimensionsatz besagt folgendes


Ich fange dann mal vorne an im Dimensionssatz:

Die Dimension von () ist 3. Allerdings verstehe ich nicht warum wir uns hier in der dritten Dimension befinden, da eine ähnliche Gleichung bei eine Ebene darstellt.
Ähnlich ist das verständniss bei , warum ist auch hier die Dimension 3?


Im Zweiten Teil des Dimensionsatzes haben wir eine SChnittmenge von und oder? DAs heißt ich muss die beiden Räume schneiden wodurch wiederrum ein Untervektourraum mit eine neuen Dimension entsteht. Aber auch hier meine Frage wie kommst du darauf, dass dieser eine Dimension von 4 haben muss? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dass 3-dimensional sind habe ich schon begründet. Ich habe heute meinen guten Tag, deshalb mache ich's nochmal etwas ausführlicher am Beispiel .
Im Raum ist eine Ebene, das ist so wie bei . Im ist noch frei, in dieser "Richtung" kann sich zu einem 3-dimensionalen Untervektorraum ausdehnen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Verbindungsraum, das ist der kleinste Untervektorraum, der enthält. Wenn gilt, muss er im 4-dimensionalen 4-dimensional sein. Kleiner als 3 geht nicht, da er enthält, dazu kommt ein Vektor aus , der nicht in enthalten ist. Größer als 4 paßt nicht in den . Das macht genau 4 Dimensionen.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Puh.... Ich tu mir richtig schwer in Linearer Algebra.
Aber mal sehen ob ich es verstanden habe.
Also wäre im eine Ebene.
Da wir uns aber im befinden haben wir mit einen dreidimensionalen Raum vorliegen.
Ist das denn immer so, wenn ich im nur drei von möglichen 4 Variablen benutze (etwa so ,
ist jetzt hier "frei"), dass ich einen R^3 Raum erhalte? Da muss ich mich (glaube ich) erst dran gwöhnen, da eine solche Form bisher für mich immer eine Ebene war.

Das mit dem scneiden zweier Räume ist mir glaube ich jetzt klar. Ich weis nur noch nicht wie ich das dann jetzt mathematisch zeigen soll.
Hab jetzt mal einen Ansatz zu
Also
und

Dann ist





der "fertige" Raum sieht somit so aus:

und weil wir jetzt nur noch und haben ist es dann ein 2 dimensionaler Vektorraum oder?
(schneide ich die zwei Räume so überhaupt korrekt? verwirrt )

Somit kann das Teilchen nur zwei linear unabhänige vektoren haben.
und... einen 2ten finde ich nicht oder stelle ich mich jetzt hier zu blöd an? Wobei mir grad auch auffält, dass der Raum im R^3 eine Gerade wäre. Somit hätte es im nur einen Vektor. Erstaunt2
(ich hoffe du kannst mir in diesem langen Text folgen)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen (Dimensionssatz), dass die Dimension 2 hat. Eine Basis hat also 2 linear unabhängige Vektoren aus .
Ich habe überhaupt kein Problem, zwei linear unabhängige Vektoren zu finden, die beide Gleichungen erfüllen. (Soll ich sie posten ?)
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh oder kann ich auch
und
nehmen aber dann befinden wir uns nicht mehr in R^2 oder? Also irgendwie verstehe ich das hier nicht. Aber das was ich im letzten Post geschrieben habe war richtig oder? mit dem schneiden der beiden räume?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp des Tages: Löse das lineare Gleichungssystem
1*x1+3*x2+1*x3+0*x4=0
1*x1+0*x2+1*x3+1*x4=0
Das sind zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten, man löst das nach dem Gauß'schen Algorithmus, der Lösungsraum hat die Dimension 2 (und das ist genau die Dimension von U2).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vektoren erfüllen die Gleichungen nicht.
1/3+3*0+0 ist nicht 0 (z.B.)
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

So also habe es versucht folgendermaßen aufzulösen. Aber ich bekome nicht mehr als insgesamt 3 hin:

also







Erste Zeile von der zweiten subtrahieren
-->

zweite zweile von der ersten subtrahieren
-->

So auf weniger 0en kann ich nicht kommen und uin der 2ten Zeilen habe ich jetzt meinen neuen Raum stehen

Aber woher weis ih nun, dass das mein neuer Raum ist? denn ich könnte ja auch die zweite Zeilen nehmen.

und für die unabhängigen Vektoren gilt:
und

stimmt es so? Aber dann gbt es ja unendlich viele linear unabhängige Vektoren für das
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner mehr hier der mir sagen kann ob meine Lösungen stimmen? traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, da bin ich wieder. Du warst ganz nah dran, hast das Ziel nur knapp verfehlt, deshalb kommt hier zu Belohnung die Auflösung. Ich teile zunächst die 2. Zeile durch -3 und habe damit das LGS



Bei zwei Gleichungen für 4 Variable kann ich zwei Variable frei wählen, sei also , dann ist ( liest man aus dem LGS ab).

Hier haben wir noch viel Freiheit, die nutzen wir und wählen zum Beispiel



Für diese beiden linear unabhängigen Vektoren des gelten die beiden Gleichungen , sie sind also eine Basis des 2-dimensionalen Untervektorraumes . (Anmerkung: Es gibt viele weitere Basen dieses Untervektorraumes, je zwei l.u. Vektoren bilden eine Basis.)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Anmerkung zur Geometrie, die dich interessieren dürfte. Eine lineare Gleichung im definiert eine Hyperebene, das ist eine Nebenklasse aus dem Faktorraum nach dem (n-1)-dimensionalen Unterraum , der zu der zugehörigen homogenen Gleichung gehört.
Zum Beispiel sind im ax+by=c alle Geraden parallel zu ax+by=0, im Ebenen, im 3-dimensionale Unterräume (unser Beispiel kann man sich so vorstellen, dass 2 drei-dimensionale Unterräume sich in einer Ebene des schneiden).
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hat leider ein paar Tage gedauert bis ich mich nun wieder melde aber vielen dank Elvis, dass du dir so viel Zeit für mich genommen hast, Hab das jetzt soweit verstanden Wink Habe nur nicht beactet, dass die gesuchten Vektoren beide Gleichungen (Bedingungen aus )erfüllen müssen.
Aber ich saß nun gestern im Tutorium bei uns und wir haben uns über diese Aufgabe unterhalten und da ist mir gesagt worden, dass ich drei linear unabhngige Vektoren finde soll. Oder hast du das auch gemeint und ich habe es hier nich so richtig verstanden? Über eine letzte Antwort würde ich mich noch freuen smile
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner da der mir sagen kann ob ich zwei oder drei linear unabhänigie Vektoren brauche?
(elvis wo bist du? traurig )
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bin hier und jetzt (in der 4-dimensionalen Raumzeit brauchen wir zu Ortsbestimmung offensichtlich 4 Koordinaten Big Laugh ).

Wer auch immer glaubt, dass in deinem Beispiel 3 linear unabhängige Vektoren im UVR Platz haben, der irrt. Wir haben super sauber begründet und gerechnet. Das Ergebnis steht felsenfest für alle Ewigkeit (so etwas Dauerhaftes kann es nur in der Mathematik geben).
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die Aufgabe jetzt auch fast zu ende gerechnet (ich weis du hast mir schon mögliche Lösugen genannt).

Also nach der Matrix die nach der letzten Umformung so aussah
Zitat:
-->

Habe ich dann für meine Basisvektoren folgendes:

aus Zeile 2 folgt




und aus Zeile 1 folgt:



dann habe ich als Ergebnisvektor für mögliche Basisvektoren



Ich hoffe es ist richtig. Nun muss ich mir nur noch Zahlen suchen, so dass ich 2 linear unabhängigwe Vekotren erhalte.
Ach und bevor ich es vergesse. Ich habe in meinem Ergebniss nur noch zwei variable und die ich frei wählen kann. Die anderen beiden variablen und sind von den ersten beiden abhängig.
Kann ich deshalb hierraus folgern, dass ich nur noch einen 2 dimensionalen Vektorraum habe? (Hoffentlich ist ersichtlich worauf ich hinaus will)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Rechnung stimmt, Begründung passt. Und wenn du schreibst sieht's jeder ein, denn man sieht wo es herkommt.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

ja Supi! Dann bin ich aber jetzt froh..
Tanzen Vielen Dank nochmal Elvis smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau wie ich es gemacht habe kannst du z.B. die beiden Vektoren als Basis benutzen, die sich für oder ergeben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

verständnisfrage: Warum sind die beiden linear unabhängig ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon bemerkt, dass unsere Basen nahezu identisch sind ? Augenzwinkern
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst es echt kaum glauben aber ich hab es ebenfalls genau so gemacht wie du es gemacht hast. Habe für und die werte 1 und 0 genommen und sie für die Basisvektoren dann vertausch, so habe ich zwei voneinander nicht abhängige Vektoren erhalten. Öh der Grund weshalb sie linear unabhängig sind ist (so würde ich es jetzt begründen) der, dass die Vektoren an unterschiedlichen Stellen eine bzw zwei 0en haben. So hat meine erster Vektor an der stelle eine o stehen und der zweite Vektor an der Stelle und .
Habe folgende Vektoren erhalten:


würde ich diesen Vektor mit multiplizieren, dann hätte ich deine oben genannte Lösung
Zitat:
Zitat von Elvis


mein anderer Vektor sieht so aus

v_2=

und für
kommt nur die triviale Lösung als Lösung in Frage.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Habe auch eine neue Aufgabe die sieht so aus (im Anhang)

Hier habe ich bisher nur mit U_1 begonnen. Habe zuerst die Vektoren auf lineare Abhängigkeit getestet in der Matrix

\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} (die Vektoren sind hier in Zeilen geschrieben)

Habe es dann umgeformt, mit dem Ergebnis ,dass die letzte Zeile eine komplette Null-Zeile geworden ist. Somit ist ein Vektor von den anderen beiden abhängig, was bei mir so aussieht

.
Aber wie mache ich jetzt weiter um die Dimension zu berechnen für ? Oder bin ich jetzt schon fertig? Und die Dimension ist 2? Über Hilfe zu diesem thema würde ich mich auch noch freuen Elvis. Ich denke mal U_2 geht dann analog dazu.
Das letzte geforderte mit dem schneiden von U_1 und U_2 geht über den Dimensionssatz.
Ist das so korrekt?

Edit: Habe hierfür ein neues Thema eröffnet.
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