Intervallschachtelung zweier rekursiver Folgen

13.11.2009, 20:31

Lilliana

Intervallschachtelung zweier rekursiver Folgen

Hallo ihr Mathe-Genies;

Ich habe folgende Aufgabe und finde keinen Ansatz:

Für $\begin{eqnarray*} 0 < a1 < b1 \end{eqnarray*}$ seien die Folgen $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right) \end{eqnarray*}$ rekursiv durch

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2 a_n b_n}{a_n + b_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \qquad\forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

definiert. Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray*} \left[a_n, b_n\right] \end{eqnarray*}$ eine Intervallschachtelung gegeben ist, d.h. es gilt

$\begin{eqnarray*} I_{n+1} := \left[a_{n+1}; b_{n+1}\right] \subset \left[a_n; b_n\right] =: I_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und es gibt genau eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in I_n \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Man hat also zu zeigen:

- es gilt stets $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n\geq b_n \end{eqnarray*}$ ;
- $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, oder andersrum;
- beide Folgen konvergieren gegen den selben Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

13.11.2009, 20:45

system-agent

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Du musst zeigen:
(i) $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend
(iii) $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend
(iv) Die Folge $\begin{eqnarray*} d_n:=b_n-a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen Null.

Du könntest zb zuerst einmal kurz begründen wieso alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ immer positiv sind.

Danach fangst du mit der Liste (i) - (iv) an.

13.11.2009, 20:48

Lilliana

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Dann gehe ich mal an die Arbeit, danke.

14.11.2009, 19:57

Lilliana

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Dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ immer positiv sind, war ja relativ leicht zu zeigen.

Ich verzweifle gerade daran, die Nummer (i) der Liste zu beweisen.
Ich habe schon alles versucht. Ich habe die Dreiecksgleichung bemüht, die Binomischen Formeln. Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_{n-1} \end{eqnarray*}$ nach oben ab zu schätzen und so weiter...

Jedes mal ist es mir passiert, dass ich die erste Formel zu weit nach oben abgeschätzt habe, sodass ich noch einmal nach unten abschätzen musste, was denn beweis ja absolut hinfällig macht.

hat jemand einen Tipp?

14.11.2009, 20:21

system-agent

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Um $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ zu zeigen reicht es, $\begin{eqnarray*} b_n-a_n\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Also via vollständiger Induktion.
Induktionsanfang ist klar.
Sei also die Behauptung OK bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Dann:
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}=\frac{(a_n+b_n)^2-4a_nb_n}{2(a_n+b_n)}=... \end{eqnarray*}$ .

15.11.2009, 17:34

Lilliana

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Ich bearbeite gerade (iv)

Ich zeige also,dass $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{a_{n} + b_{n}}{2}-\frac{2 a_n b_n}{a_n +b_n}=\frac{\left(a_n + b_n\right)^2 - 4 a_n b_n}{2\left(a_n + b_n\right)}=\frac{\left(a_n - b_n\right)^2}{2\left(a_n + b_n\right)}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob es nun ausreicht, zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sich immer weiter annähern, da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wachsend, $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ fallend ist, aber stets $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ gilt (beides ist ja schon beweisen).
Daraus wüder folegn, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen einen fetsen wert strebt, was ins gesamt zu einer Nullfolge führen würde,
aber ist die Kette wirklich wasserdicht?

Ich glaube nicht, da ich damit voraussetzen würde, was ich erst beweisen will, oder?

Weiß jemand Rat?

15.11.2009, 18:01

system-agent

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Das ist schon gut was du machst Freude

.
Ersteinmal:
$\begin{eqnarray*} (d_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent. Wieso?
Hinweis: Differenz konvergenter Folgen. Wieso sind $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ kovergent? Weil sie beschränkt (wodurch?) und monoton sind.

Nun es gibt also $\begin{eqnarray*} d=\lim_{n\to\infty}d_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=\lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$ .

Mit dem was du geschrieben hast lasse nun $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Das heisst $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung [Limessätze]:
$\begin{eqnarray*} d=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}=\frac{(-1)^2(b-a)^2}{2(a+b)}=\frac{d^2}{2(a+b)} \end{eqnarray*}$ .

Also
$\begin{eqnarray*} d^2-2(a+b)d=0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} d=2(a+b) \end{eqnarray*}$ .
Wieso nicht beides?

Begründe nun, dass $\begin{eqnarray*} d=2(a+b) \end{eqnarray*}$ zu einem Widerspruch führt.
Dazu:
$\begin{eqnarray*} b-a=\lim_{n\to\infty}b_n-\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=d \end{eqnarray*}$
also falls $\begin{eqnarray*} d=2(a+b) \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre
$\begin{eqnarray*} 2(a+b)=d=b-a \end{eqnarray*}$ .

Nun Monotonie von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ irgendwie geschickt nutzen.

15.11.2009, 18:29

Lilliana

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Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist. Das ist für unsere beiden Folgen nachgewiesen, denn sie beschränken sich gegenseitig und die Monotonie hab ich schon nachgewiesen.

Warum $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist, ist mir auch völlig klar.

Okay, denn Grenzübergang für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ durchzuführen, die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gehen ist natürlich vollkommen logisch. Darauf bin ich jedoch nicht gegommen. Damit nimmt $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nun auch eine klare Kontour an.

Damit ist meine Lücke gefüllt, danke.

Ich weiß jetzt nur nicht ganz, was ich nun abschließend noch dazu sagen kann, schließlich sind die Schritte (i)-(iv) nur Hilfsschritte für die eigentlche Aufgabe in Bezug auf die Intervallschachtelung.

15.11.2009, 18:36

system-agent

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Zitat:

Original von Lilliana
Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist. Das ist für unsere beiden Folgen nachgewiesen, denn sie beschränken sich gegenseitig und die Monotonie hab ich schon nachgewiesen.

Ja, und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ist von oben beschränkt, da
$\begin{eqnarray*} b_1\geq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$
und von unten beschränkt, da
$\begin{eqnarray*} b_n\geq a_n\geq a_1>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, du musst noch kurz begründen, wieso $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2(a+b) \end{eqnarray*}$ sein kann.

Na damit ist gezeigt, dass die beiden Folgen eine Intervallschachtelung bilden, denn du hast alle Forderungen der Definition überprüft.

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