Dreiecksungleichung

13.11.2009, 22:46

Graf_Love

Dreiecksungleichung

Ich kann mit der Dreiecksungleichung leider nichts anfangen. Wie funktioniert sie? Und vor allem: in welchen Situationen kann man sie nützlich einsetzen? Ich weiß, dass man sie nutzen kann, um zu zeigen, dass |a_{n} - a_{n+1}| <= 2^{-n} eine Cauchy-Folge ist und somit konvergiert, ich kann es jedoch nicht, da ich nicht weiß, WIE man sie einsetzt.

13.11.2009, 23:50

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Hallo!

Du müsstest noch dazusagen, von was für einer Folge du redest. Für beliebige Folgen gilt das ja nicht.

Grüße Abakus smile

13.11.2009, 23:59

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Such' dir zB den Beweis des Satzes heraus, der besagt, dass der Grenzwert des Produktes zweier Folgen gleich dem Produkt der Grenzwerte der Folgen ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} \lim \left(a_n \cdot b_n\right) = a\cdot b\qquad \mbox{für } a_n \to a ~\wedge~ b_n \to b \end{eqnarray*}$

Viele elementare Beweise mit Folgen benutzen die Dreiecksungleichung, wenn es darin um Konvergenz geht - denn man will solche Folgen meistens abschätzen, um zu zeigen, dass sie der Epsilonbedingung für Konvergenz gelten.

air

15.11.2009, 19:32

Graf_Love

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung

Zitat:

Original von Abakus
Hallo!

Du müsstest noch dazusagen, von was für einer Folge du redest. Für beliebige Folgen gilt das ja nicht.

Grüße Abakus smile

Stell es dir so vor: Ich kenne das Wort Dreiecksungleichung. Ich weiß, dass wir es können und ggf. anwenden können müssten, wie z.B. um zu zeigen, dass |a_{n} - a_{n+1}| <= 2^{-n} eine Cauchy-Folge ist und somit konvergiert.

Mehr weiß ich darüber nicht :-(

15.11.2009, 20:14

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung

Zitat:

Original von Graf_Love
Stell es dir so vor: Ich kenne das Wort Dreiecksungleichung. Ich weiß, dass wir es können und ggf. anwenden können müssten, wie z.B. um zu zeigen, dass |a_{n} - a_{n+1}| <= 2^{-n} eine Cauchy-Folge ist und somit konvergiert.

Diese Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| <= 2^{-n} \end{eqnarray*}$ gilt nicht für jede Folge, noch nicht einmal i.A. für konvergente Folgen.

Betrachte:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| = \frac{1}{n \cdot (n+1)} > 2^{-n} \text{ für } n \ge 5 \end{eqnarray*}$

Ansonsten: du kannst für die Dreiecksungleichung natürlich alle Summen und Differenzen betrachten, die irgendwo vorkommen.

Hier zB:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| \leq \frac 1 n + \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n \cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung ist aber eher schlecht im Vergleich zu oben.

Grüße Abakus smile

16.11.2009, 14:42

Graf_Love

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung

Zitat:

Original von Abakus

Betrachte:

Hier zB:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| \leq \frac 1 n + \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n \cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

Verrätst du mir noch, wie du auf $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| \leq \frac 1 n + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ kommst? ;-D

16.11.2009, 20:10

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung

Zitat:

Original von Graf_Love
Verrätst du mir noch, wie du auf $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| \leq \frac 1 n + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ kommst? ;-D

Ausführlicher:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| = |\frac 1 n + ( -\frac{1}{n+1}) | \leq |\frac 1 n| + |-\frac{1}{n+1}| = \frac 1 n + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Dreiecksungleichung

Verwandte Themen