Abschluss, innere Punkte und Rand einer Menge

14.11.2009, 01:26	Paranoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschluss, innere Punkte und Rand einer Menge Servus! Ich hab' mal so grundelegende Fragen zum Abschluss einer Menge $\begin{eqnarray} \overline M \end{eqnarray}$ , den inneren Punkten $\begin{eqnarray} M° \end{eqnarray}$ und dem Rand $\begin{eqnarray} \partial M \end{eqnarray}$ einer Menge. Laut unseres Skripts ist: $\begin{eqnarray} \partial M = \overline M \backslash M° \end{eqnarray}$ . Ich kann aber mit den Begriffen irgendwie nicht richtig was anfangen, also was kann man sich genau unter diesen Begriffen vorstellen? Ist es richtig, dass zum Beispiel die Menge A = {0, 1, 2, 3} keine Inneren Punkte hat und all diese Punkte Randpunkte sind? Und was wäre der Abschluss von A? Lg Michel
14.11.2009, 14:17	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss, innere Punkte und Rand einer Menge Am einfachsten kann man sich diese Begriffe meines erachtens mit dem Einheitskreis verdeutlichen. Ist man in dem Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ mit der Standarttopologie und betrachtet die Menge $\begin{eqnarray} D:=\{(a,b) \| a^2+b^2 \leq 1\} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \partial D = \{(a,b) \| a^2+b^2=1\} \end{eqnarray}$ (dies kann man als den Rand der Menge ansehen) und $\begin{eqnarray} D^o = \{(a,b) \| a^2+b^2<1\} \end{eqnarray}$ (dies kann man als den inneren Kern, also die Menge ohne die Randpunkte) Allgemein betrachtet kommt es natürlich immer auf die Topologie an, die auf der angegebenen Menge definiert ist. Allgemein bedeutet dies: x ist ein Randpunkt, d.h. $\begin{eqnarray} x \in \partial M \end{eqnarray}$ , falls keine offene Menge O existiert, s.d $\begin{eqnarray} x \in O \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O \subset M \end{eqnarray}$ x ist ein innerer Punkt, d.h. $\begin{eqnarray} x \in M^o \end{eqnarray}$ , sonst. $\begin{eqnarray} \overline M \end{eqnarray}$ ist dann definiert als die Menge aller Randpunkte vereinigt mit der Menge aller inneren Punkte. Also die abgeschlossene Hülle von M Hoffe das hat die Fragen geklärt und keine aufkommen lassen =)
14.11.2009, 16:16	Paranoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hilft mir auf jeden Fall schon einmal weiter, allerdings würde ich es dann doch gerne einmal an meinem obigen Beispiel von A bestätigt/widerlegt bekommen! Also das Intervall [a,b] hat ja offensichtlich die Randpunkte a und b und die inneren Punkte ]a,b[. Der Abschluss von ]a,b[ ist wohl immer [a,b], aber was ist, wenn ich eine Vereinigung von Intervallen habe oder - wie oben im Beispiel - eine Vereinigung von Punkten habe? Lg Michel
14.11.2009, 17:16	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Verinigung von Intervallen und den von dir genannten Punkten kommt es auf den Raum und die darauf definierte Topologie an. Betrachten wir also die Menge M:={1,2,3,4} Bsp.1: Wir befinden uns in $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und betrachten die diskrete Topologie (d.h. jedes Element ist bereits eine offene Menge) Dann ist $\begin{eqnarray} \partial M = \emptyset ~~und~~ M^o = M \end{eqnarray}$ Bsp.2: Wir befinden uns in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und betrachten die diskrete Topologie, dann gilt für M selbiges wie in Bsp.1. Bsp.3: Wir befinden uns in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und betrachten die Standarttopologie, dann gilt: $\begin{eqnarray} \partial M = M ~,~~M^o=\emptyset ~~und~~\overline M = M \end{eqnarray}$ Also wenn ihr immer die Standarttopologie betrachtet, dann scheint deine Anschauung korrekt

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