Integral allgemein lösen

03.10.2006, 16:30

mr_endres

Integral allgemein lösen

Hallo zusammen,

mir fällt einfach keine Möglichekit ein folgendes Integral zu lösen (habe das Integral zwar in der FS nachgeschlagen, aber ich würde gerne wissen wie man da drauf kommt verwirrt

) :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x^2+px+q)^3}~dx \end{eqnarray*}$

partielle Integration führt nicht weiter, und partialbruchzerlegung geht ja auch nicht, da der Nenner nicht weiter zerlegt werden kann. Hat also jmd. eine Idee wie man da rangehen könnte ?

Wenn das zu abstrakt zu erklären ist, hier ein konkretes Bsp. an dem man das diskutieren kann :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x^2+2x+3)^3}~dx \end{eqnarray*}$

Vielen Dank. mfg Johannes

03.10.2006, 16:50

xrt-Physik

Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere:

$\begin{eqnarray*} u = x^{2}+px+q \end{eqnarray*}$

Umformung nach x:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{u + \frac{p}{4}^{2} - q} - \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$

mit der Ableitung:

$\begin{eqnarray*} u' = 2x+p \end{eqnarray*}$

und dann das Einsetzen von x in die Ableitung, ergibt den Term,
durch den du dividieren musst.

03.10.2006, 16:52

crow

Auf diesen Beitrag antworten »

also
am besten nimmst du im nenner eine quadratische ergänzung
vor
siehe wie folgt
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x^{2}+px+q)^{3}}~dx \end{eqnarray*}$

bis hierhin erstmal
jetzt kannst du das integral durch geeignete substitutionen auf
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(u^{2}-1)^{3}}~du \end{eqnarray*}$
vereinfachen
dann musst du nur noch dieses einfachere integral lösen

03.10.2006, 16:59

crow

Auf diesen Beitrag antworten »

edit
entschuldige wegen Dp aber meine rechnung kam nicht ganz drauf
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x^{2}+px+q)^{3}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~\frac{1}{(x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q)^{3}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~\frac{1}{((x+\frac{p}{2})^{2}-\frac{p^{2}}{4}+q)^{3}}~dx \end{eqnarray*}$

Edited by Stefan: Vergessene Klammer gesetzt! Augenzwinkern

03.10.2006, 22:16

mr_endres

Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich nciht ganz, dann erhlate ich doch bei der Substitution

$\begin{eqnarray*} dx=1/\sqrt(u+p^2/4-q) \end{eqnarray*}$

Das eingesetzt in die Ausgnagsgleichung gibt doch :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{2\sqrt(u+p^2/4-q)u^3}~dx \end{eqnarray*}$

Doch dieses Integral kann man doch auch nicht einfach lösen, zumindest nicht auf den ersten Blick.

03.10.2006, 22:35

mr_endres

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von crow
also
am besten nimmst du im nenner eine quadratische ergänzung
vor
siehe wie folgt
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x^{2}+px+q)^{3}}~dx \end{eqnarray*}$

bis hierhin erstmal
jetzt kannst du das integral durch geeignete substitutionen auf
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(u^{2}-1)^{3}}~du \end{eqnarray*}$
vereinfachen
dann musst du nur noch dieses einfachere integral lösen

ok, danke erstmal für die Hilfe.
auf die Form $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(u^{2}-1)^{3}}~du \end{eqnarray*}$ lässt sich das Integral auf jeden Fall bringen, auch wenn das Ergebnis nicht so schön aussieht. Aber wie integriere ich die Substitution?
Substituiere ich u mit cosh(t), so erhlate ich nach Umformen :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{sinh(t)^5}~dt \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das nun integrieren ? Substitution von sinh hilft nicht weiter und auch exp(t) substituiert bringt keinen wriklichen Fortschritt. Hmm....

03.10.2006, 23:05

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz so einfach ist die Sache nicht, zumindest wenn man immer im Reellen bleiben will: Je nach Wert der Diskriminante $\begin{eqnarray*} D=\frac{p^2}{4}-q \end{eqnarray*}$ gilt es drei Fälle zu unterscheiden:

(1) $\begin{eqnarray*} D>0 \end{eqnarray*}$ : Dann führt die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{\sqrt{D}}\left( x+\frac{p}{2} \right) \end{eqnarray*}$ tatsächlich zum genannten Integral $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{(u^2-1)^3} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$ : Die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \left( x+\frac{p}{2} \right) \end{eqnarray*}$ führt zum einfachen Integral $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{u^6} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} D<0 \end{eqnarray*}$ : Hier schließlich führt die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{\sqrt{-D}}\left( x+\frac{p}{2} \right) \end{eqnarray*}$ zum Integral $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{(u^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

Bei (1) und (3) gibt es noch ein paar Vorfaktoren bei den Integralen, die ich weggelassen habe. Lösbar sind diese Integrale z.B. durch Partialbruchzerlegung (deine Aussage, dass das nicht geht, ist falsch).

03.10.2006, 23:35

mr_endres

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

(...)

Bei (1) und (3) gibt es noch ein paar Vorfaktoren bei den Integralen, die ich weggelassen habe. Lösbar sind diese Integrale z.B. durch Partialbruchzerlegung (deine Aussage, dass das nicht geht, ist falsch).

Ja ok die Fallunterscheidung ist klar, aber wie würdest du nun speziell $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{(u^2+1)^3} \end{eqnarray*}$ mittels Partialbruchzerlegung integrieren ? (Ansatz reicht mir schon :-))

mfg Johannes

04.10.2006, 12:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral befindet sich quasi schon in seiner Partialbruchdarstellung. Mache folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{(u^2+1)^3} = \int ~ \frac{1}{-4u} \cdot \frac{-4u}{(u^2+1)^3}~\dd u \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du partiell integrieren. Das Verfahren wiederholst du nochmal. Von dem restlichen Integral kannst du nochmal eine Partialbruchzerlegung machen und das wär's dann. Viel Spaß! Augenzwinkern

04.10.2006, 18:37

mr_endres

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Das Integral befindet sich quasi schon in seiner Partialbruchdarstellung. Mache folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd u}{(u^2+1)^3} = \int ~ \frac{1}{-4u} \cdot \frac{-4u}{(u^2+1)^3}~\dd u \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du partiell integrieren. Das Verfahren wiederholst du nochmal. Von dem restlichen Integral kannst du nochmal eine Partialbruchzerlegung machen und das wär's dann. Viel Spaß! Augenzwinkern

danke erstmal. meinst du du -4u/(..)^3 integrieren und 1/(-4u) ableiten, sodass ich erhalte :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4u(u^2+1)^2}-\int ~ \frac{1}{4u^2} \cdot \frac{1}{(u^2+1)^2}~du \end{eqnarray*}$

sorry, aber ich sehe leider nicht wie das einfacher werden könnte. Wenn man den Nenner zusammenfasst siehts auch nicht besser aus.

mfg Johannes

04.10.2006, 19:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du ein Minus vergessen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-4u(u^2+1)^2}-\int ~ \frac{1}{4u^2} \cdot \frac{1}{(u^2+1)^2}~du \end{eqnarray*}$

Jetzt das gleiche Verfahren wieder anwenden (hatte ich oben schon gesagt), ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-4u(u^2+1)^2}-\int ~\frac{1}{-8u^3} \cdot \frac{-2u}{(u^2+1)^2}~du \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder partiell integrieren.

04.10.2006, 23:25

mr_endres

Auf diesen Beitrag antworten »

danke den Vorzeichenfehler hatte ich übersehen. Ja klar wenn ich das so anwende , dann komme ich schließlich auf ein Integral (Vorfaktoren und KOnstanten weggelassen) der Form:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{u^4(u^2+1)}~du \end{eqnarray*}$

das kann ich dann ja durch PBZ zerlegen, sodass folgt

$\begin{eqnarray*} ...=\int_{}^{}~\frac{1-u^2}{u^4}+\frac{1}{u^2+1}~du=..usw. \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet habe. So und jetzt mit dem ganzen Wissen durch mühsame Handarbeit das ganz zu Beginn vorgestellte Integral berechnen (mit Fallunterscheidungen),...

Noch eine kleine Frage : ist es möglich eine Integral z.B.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(u^2+1)^n}~du \end{eqnarray*}$ durch wiederholtes Anwenden des von dir vorgeschlagenen Verfahrens zu lösen, das könnte man dann ja für beliebiges n systematisieren .

Danke nochmal für deine hilfe.

PS: wie bist du überhaupt auf die idee gekommen, wirklich genial.

mfg Johannes

mfg Johannes

05.10.2006, 08:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mr_endres
Noch eine kleine Frage : ist es möglich eine Integral z.B.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(u^2+1)^n}~du \end{eqnarray*}$ durch wiederholtes Anwenden des von dir vorgeschlagenen Verfahrens zu lösen, das könnte man dann ja für beliebiges n systematisieren .

Ja, das kann man so machen. Und so neu ist das Verfahren auch nicht und mit etwas Überlegung kann man auch selbst drauf kommen. Aber da ich mich nicht mit fremden Federn schmücke: ich habe es aus dem Script Analysis I, WS 1980/81, Uni Dortmund. Ich bin mir aber sicher, daß das in jedem guten Analysis-Buch beschrieben wird.

Neue Frage »

Antworten »

Integral allgemein lösen

Verwandte Themen