Beweis Geometrie gleichseitiges Dreieck (falsche Aufgabenstellung?)

14.11.2009, 10:23

congo.hoango

Beweis Geometrie gleichseitiges Dreieck (falsche Aufgabenstellung?)

Es sei $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ ein gleichseitiges euklidisches Dreieck.
Zeigen Sie, dass alle Punkte der Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{ x \in R^2 | ||x-c||^2 = ||x-a||^2 + ||x-b||^2 \} \end{eqnarray*}$ auf dem Umkreis des Dreiecks liegen.

Hinweis: O.B.d.A. kann das Koordinatensystem so gewählt werden, dass $\begin{eqnarray*} a = (-1, 0)^t, b = (1, 0)^t \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} c = (0, c)^t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

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Also ich habe irgendwie den Verdacht, dass die Aufgabe falsch gestellt ist....Wenn ich den Hinweis beachten würde, dann wäre ja c eindeutig bestimmt, da es a und b ja auch sind (gleichseitiges Dreieck). Und dann wäre ja wiederum die Menge M eindeutig, oder?

Kann es sein, dass es gleichschenklig heißen müsste und nicht gleichseitig?

14.11.2009, 10:55

psd

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RE: Beweis Geometrie gleichseitiges Dreieck (falsche Aufgabenstellung?)
Hey ho!

ich hab auch keine Ahnung, aber die Quadrate kommen weg. Herr Wendland hat ne Email rumgeschickt, dass es ein Fehler ist. Guck nochmal bei moodle.

14.11.2009, 11:57

Elvis

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Das kann irgendwie nicht sein. Der Umkreis trifft die Eckpunkte, also auch x=c.
Dafür ist aber 0=|c-c|<|c-a|+|c-b|. Ob nun mit Quadrat oder ohne, das wird nie eine Gleichung.

14.11.2009, 12:07

congo.hoango

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Ja stimmt, die Quadrate kommen weg...aber ist ja auch egal. Dieser Hinweis ist doch irgendwie völlig sinnlos oder nicht? Wenn man zwei punkte gegeben hat bei einem gleichseitigen Dreieck, dann ist doch der dritte auch eindeutig bestimmt....also wäre das doch gar kein Beweis.

14.11.2009, 12:15

psd

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wenn es aber gleichschenklig seinen soll, dann kannst du aber doch schlecht c ausrechnen..und dann geht die aufgabe auch nicht weiter..so oder so ist an der aufgabe was faul..so wie das ganze aufgabenblatt..

14.11.2009, 12:25

congo.hoango

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Eben, dann wandert c auf der y-Achse und du beweist das für alle Dreiecke mit dem variablen c...aber so stehts ja auch nicht da...also keine Ahnung was der gute Horst damit meint.

14.11.2009, 13:08

Elvis

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Der Hinweis ist in Ordnung. Wenn (a,b,c) ein gleichseitiges Dreieck ist, so kann man tatsächlich ein Koordinatensystem so wählen wie angegeben. a=(-1,0), b=(1,0), dann ist $\begin{eqnarray*} c=(0,\sqrt 5) \end{eqnarray*}$ nach Pythagoras.

14.11.2009, 13:56

Leopold

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Wohl eher $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Es ist natürlich schwer, bei einem verdorbenen Aufgabentext herauszufinden, was wohl gemeint sein könnte. Immerhin gilt das Folgende:

Ist $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit dem Umkreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , und sind $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ die Abstände eines Punktes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu den Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} X \in k \ \ \Leftrightarrow \ \ u^2 + v^2 + w^2 = 2a^2 \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 14:08

Elvis

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$\begin{eqnarray*} c=(0,\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ , danke Hammer

Ich wollte Pythagoras nicht beleidigen. Gott

14.11.2009, 14:22

Leopold

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Es gilt übrigens der folgende allgemeinere Zusammenhang (ich glaube, das war vor Jahren einmal eine Wettbewerbsaufgabe):

Ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Umkreisradius eines regelmäßigen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ vom Mittelpunkt des $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks, so gilt:
Die Summe der Abstandsquadrate von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu den Ecken des $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks hat den Wert $\begin{eqnarray*} n \left( r^2 + x^2 \right) \end{eqnarray*}$ .

Beim gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{\frac{1}{3}} \, a \end{eqnarray*}$ . Liegt nun $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf dem Umkreis (es ist also $\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$ ), so ist nach diesem Satz die Summe der Abstandsquadrate von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu den Ecken des Dreiecks gleich $\begin{eqnarray*} 3 \cdot \left( r^2 + r^2 \right) = 6 r^2 = 2 a^2 \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 18:15

psd

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Zitat:

Original von Leopold
Wohl eher $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Aber leider bringt uns das nicht wirklich weiter. Wenn man mal von dem Problem ausgeht, dass man 0=4 erzeugt, wenn man für x gleich c einsetzt, kommt nicht weiter, wenn man die Umkreispunktemenge aufstellt und dann mit M vergleichen will.

14.11.2009, 20:25

Leopold

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Nun, die Aufgabe ist falsch gestellt. Ich habe mir daher erlaubt, die Bedingung der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ so abzuändern, daß sie den Umkreis des Dreiecks kennzeichnet.
Man kann natürlich auch umgekehrt von der Originalbedingung ausgehen und fragen, welche Punktmenge damit eigentlich beschrieben wird. Auch diese Frage kann man beantworten: Es ist der Kreis durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ um den an $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ gespiegelten Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

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