Eigenvektor berechnung?

14.11.2009, 12:55

bandchef

Eigenvektor berechnung?

Hi Leute!

Folgende Aufgabe hatten wir in der Schule beabeitet. Beim durchgehen zu Hause, ist mir aufgefallen, dass ich mit dem letzten Schritt nicht zu recht komme. Ich hab diesen Schritt im Bild unten markiert.

Vielleicht kann mir ja jemand Schritt für Schritt erklären was da gemacht wurde?

Ich hab mir natürlich auch schon meine Gedanken gemacht. Ich denke man muss Matrix 1 mit Matrix 2 multiplizieren, also:

a1*x1-a2*x2=0
b1*x1-b2*x2=0

Stimmt das vielleicht so?

danke, bandchef

14.11.2009, 13:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektor berechnung?

Zitat:

Original von bandchef
Ich hab mir natürlich auch schon meine Gedanken gemacht. Ich denke man muss Matrix 1 mit Matrix 2 multiplizieren, also:

a1*x1-a2*x2=0
b1*x1-b2*x2=0

Ich kann nicht erkennen, was das mit der Rechnung auf deinem Zettel zu tun hat. Was soll denn matrix 1 und Matrix 2 sein? Es wurden zwar auch schön die Eigenwerte berechnet, aber nicht ein Eigenvektor oder noch besser die Basis eines Eigenraums.

14.11.2009, 13:17

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

ok! Dann hat's eben nix mit einer Matrix zu tun. Kannst du mir dann trotzdem sagen, wie der von Schritt 1 auf 2 kommt?

danke, bandchef

14.11.2009, 13:20

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-7 & 1 \\ 1 & 6-7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Achja: $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_1 \end{eqnarray*}$ . Da x1 (oder) x2 beliebig wählbar sind: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} t \\ -t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 13:23

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

danke david p das ist natürlich ein fehler...

welche schritte muss man machen, damit von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-7 & 1 \\ 1 & 6-7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_1 \end{eqnarray*}$ kommt?

Um das gings mir eigentlich die ganze Zeit...

danke, bandchef

14.11.2009, 13:54

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir jetzt mal weitere Gedanken gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-7 & 1 \\ 1 & 6-7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier jetzt $\begin{eqnarray*} a_1*x_1+a_2*x_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1*x_1+b_2*x_2 \end{eqnarray*}$ rechne, dann komm ich auf $\begin{eqnarray*} -x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} x_2=x_1 \end{eqnarray*}$ und bei der zweiten Zeile auf $\begin{eqnarray*} x_1-x_2=0 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Ich hätte ja dann zweimal das gleich Ergebnis?

Stimmt das so?

danke, bandchef

14.11.2009, 13:59

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so. Wie heißt nun der Eigenvektor?

14.11.2009, 14:03

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich hab ja jetzt ausgerechnet, das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gleich dem $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist. Leider weiß ich jetzt nich mehr weiter wie ich da jetzt auf den Eigenvektor schließen kann... :-(

danke, bandchef

14.11.2009, 14:17

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt glaub ich hab ich den Eigenvektor doch noch gefunden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 14:32

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie läuft das jetzt bei dieser Aufgabe?

Ich hab zwei Lambdas: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=6,5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-3,5 \end{eqnarray*}$

und die Determinante: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 5 \\ 5 & 2-\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab da jetzt wieder folgendes errechnet: $\begin{eqnarray*} 4,5x_1+5x_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5x_1+5,5x_2=0 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie macht das jetzt keinen Sinn mehr im Gegensatz zu der Aufgabe von vorhin...

danke, bandchef

14.11.2009, 15:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ah, jetzt glaub ich hab ich den Eigenvektor doch noch gefunden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist nur die allgemeine Angabe eines Vektors. Kann man jetzt x_1 und x_2 beliebig wählen?

14.11.2009, 15:20

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke man kann beliebig wählen...

Bei meinem zweiten Beispiel hätte ich jetzt folgende Eigenvektoren:

Für Lambda 1:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ -\frac{10}{11}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für Lambda 2:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} -\frac{9}{10}x_1 \\ 1,1x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier kann man doch normalerweise nicht beliebig wählen, oder?

Stimmt das so?

14.11.2009, 15:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ja, ich denke man kann beliebig wählen...

Da denkst du falsch. Dann würde ja jeder beliebige Vektor ein Eigenvektor sein können.

Anders gesagt: in den Komponenten eines Eigenvektors dürfen keine Angaben wie x_1 oder x_2 vorkommen. Allenfalls ein Parameter t oder sowas wäre akzeptabel.

14.11.2009, 16:45

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ùnd was ist dann an meinen Rechnungen falsch?

14.11.2009, 18:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnungen sind zum Teil formal falsch. Du gibst nie einen konkreten Eigenvektor an, sondern bleibst immer im unverbindlichen. Ich wundere mich auch, daß das im Bereich Schulmathe besprochen wird. Zur Bestimmung von Eigenvektoren braucht man sattelfeste Kenntnisse von der Lösung linearer Gleichungssysteme. Das geht meines Erachtens über den Schulstoff hinaus.

15.11.2009, 13:58

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie muss ich denn dann auflösen? Und wo liegen die formalen Fehler? Könnt ihr mir weiterhelfen?

danke, bandchef

15.11.2009, 15:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Naja ich hab ja jetzt ausgerechnet, das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gleich dem $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist. Leider weiß ich jetzt nich mehr weiter wie ich da jetzt auf den Eigenvektor schließen kann... :-(

Und genau da braucht man Kenntnisse von der Lösung linearer Gleichungssysteme. Setze für x_1 den Parameter t. Wegen x_2 = x_1 ist auch x_2 = t und die Eigenvektoren haben die Form $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit t aus R.

Entsprechend mußt du das für die anderen Gleichungssysteme durchziehen.

Neue Frage »

Antworten »

Eigenvektor berechnung?

Verwandte Themen