Konvergenz von Folge Beweisen (mit Fibonacci)

14.11.2009, 14:12

Bobbie

Konvergenz von Folge Beweisen (mit Fibonacci)

Hallo,
Ich bräucht etwas hilfe bei eienr Aufgabe:
(Die Aufgabe habe ich angehängt)

Wenn man die Folge betrachtet wird klar, das sie konvergiert und zwar gegen 0, da
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{n} = \infty \end{eqnarray*}$

,

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n} = \infty \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Als Beweis wird das allerdings denke ich mal kaum durchgehen. Nur wie kann ich "Beweisen" das $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . ?

Oder muss ich konvergenz auf einen ganz andern Weg beweisen?
mit der Definition von Cauchy Folgen hab ich auch keinen Fuß in die Tür bekommen...

Danke shconmal

14.11.2009, 14:35

Lord Pünktchen

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RE: Konvergenz von Folge Beweisen (mit Fibonacci)
$\begin{eqnarray*} f_n = f_{n-1}+f_{n-2} > 2 \cdot f_{n-2} \end{eqnarray*}$

Tipp:
Benutze das Minorantenkriterium mit einem Term ähnlich $\begin{eqnarray*} \frac {n} {2^{n/2}} \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 14:59

tmo

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Wenn ihr noch nix über die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{a^n} \end{eqnarray*}$ gehabt habt, kann man auch alternativ $\begin{eqnarray*} f_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 12 \end{eqnarray*}$ induktiv zeigen und daraus ableiten, dass $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist.

14.11.2009, 21:21

Bobbie

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RE: Konvergenz von Folge Beweisen (mit Fibonacci)

Zitat:

Original von Lord Pünktchen

Tipp:
Benutze das Minorantenkriterium mit einem Term ähnlich $\begin{eqnarray*} \frac {n} {2^{n/2}} \end{eqnarray*}$

Minorantenkriterium sagt mir leider garnix unglücklich

@tmo
warum müsste ich dann noch zeigen das b Null folge ist wenn $\begin{eqnarray*} f_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 12 \end{eqnarray*}$ gilt kann das ganze doch auf den trivial Fall n / (n^2) zurück geführt werden. Reicht das nicht aus? (... Allerdings haperts bei mir schon beim induktiven Beweis)

15.11.2009, 00:58

Bobbie

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allgemein habe ich ein kleines Problem mit Beweisen, ich weiß oft nicht wie ich das angehen soll ... werde jetzt in der uni auch das erstemal damit konfrontiert (schule nur gk) - falls mir da jemand ne Buchempfehlung oder einfach tipps zu geben könnte wäre ich auch dankbar

15.11.2009, 16:08

Bobbie

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*push*

15.11.2009, 18:34

Bobbie

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RE: Konvergenz von Folge Beweisen (mit Fibonacci)

Zitat:

Original von Bobbie

@tmo
warum müsste ich dann noch zeigen das b Null folge ist wenn $\begin{eqnarray*} f_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 12 \end{eqnarray*}$ gilt kann das ganze doch auf den trivial Fall n / (n^2) zurück geführt werden. Reicht das nicht aus? (... Allerdings haperts bei mir schon beim induktiven Beweis)

mir ist gerade aufgefallen was ich da für einen misst geschrieben ahbe, bitte ignorieren ^^

16.11.2009, 17:11

tmo

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So ein Mist war das gar nicht. Du müsstest den Induktionsbeweis nur hinkriegen. Schreib doch schon mal Induktionsanfang und Induktionsvorraussetzung hin.

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