Äquivalenzrelation/ Repräsentantensystem

14.11.2009, 16:13

Evelyn89

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Äquivalenzrelation/ Repräsentantensystem

Hallo liebes Mathe- Board!

Habe folgende Aufgabe:

Betrachte auf reellen Ebene folgende Relation:

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)R(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ ist definiert als :
$\begin{eqnarray*} \exists r \in \end{eqnarray*}$ Menge der reellen Zahlen ohne Null.

mit $\begin{eqnarray*} (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ .

1.) zz.: ~ ist eine Äquivalenzrelation:

Meine Lösung:

Reflexivität:

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)R(x_1,x_2) = (rx_1,rx_2)R(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$

Also reflexiv. z.B. für r=1.

Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \Rightarrow (y_1,y_2)=(rx_1,rx_2) \end{eqnarray*}$

Transitivität:

seien z_1,z_2 aus R:

$\begin{eqnarray*} (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (ry_1,ry_2)=(z_1,z_2) \Rightarrow \exists r : (rx_1,rx_2)=(z_1,z_2) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?
Falls nein, was ist falsch und warum?

Beim 2. Aufgabenteil soll ich ein Repräsentantensystem angeben, wo ich wirklich überhaupt keine Ahnung habe. Habe mich mit der Definition auseinandergesetzt, aber ich kann das irgendwie nicht auf diese Aufgabe übertragen. Insofern bin ich für jeden Tipp wirklich dankbar!

Frage: Soweit ich weiß ist das einzige sinnvolle r, r=1, bei dem alle Eigenschaften gelten.
Kann ich damit was anfangen?

Also das " R " steht für Relation!

14.11.2009, 16:16

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation/ Repräsentantensystem

Zitat:

Original von Evelyn89
mit $\begin{eqnarray*} (rx_1,rx_2)(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ .

Latex hat das Problem, daß es die Tilde (~) verschluckt. Trotzdem verstehe ich nicht, was obiges bedeuten soll.

14.11.2009, 16:20

Evelyn89

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ups! ist mir gar nicht aufgefallen.
wie kann ich es denn dann darstellen? etwa immer trennen zwischen normaler schrift und latexschrift?!
das ist aber viel arbeit!

edit: Habs anders gemacht. Mit dem "R".

Sorry, da oben muss ein "=" hin. Habs korrigiert.

14.11.2009, 16:31

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation/ Repräsentantensystem

Zitat:

Original von Evelyn89
Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \Rightarrow (y_1,y_2)=(rx_1,rx_2) \end{eqnarray*}$

Das heißt aber nicht, daß (y_1,y_2) äquivalent zu (x_1,x_2) ist. Also da mußt du nochmal ran.

Ob man die Tilde in Latex angezeigt bekommt, kann ich nicht sagen. Vielleicht weiß das einer unserer Latexexperten.

14.11.2009, 16:51

kiste

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Die Tilde ~ kennzeichnet einen kleinen Abstand in LaTeX. \sim stellt die Tilde da wie ihr sie haben wollt.

Zur Aufgabe selbst wird klarsoweit schon weiter helfen Big Laugh

Big Laugh

14.11.2009, 17:01

Evelyn89

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hmm.. , aber wenn r=1 ist, ist das doch richtig oder etwa nicht?
1 ist ja schließlich das neutrale element, womit rx=1x=x wäre.

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14.11.2009, 17:06

Evelyn89

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hmm.. wenn ich mir die aufgabe durchlese, denke ich, muss ich das doch auch gar nicht zeigen oder etwa doch?

ich muss ja im grunde nur die relation umkehren und damit die definition der genannten relation umkehren, was ich auch getan habe.

14.11.2009, 18:15

kiste

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Wenn rx_1 = y_1 was ist dann x_1?

14.11.2009, 18:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Evelyn89
ich muss ja im grunde nur die relation umkehren und damit die definition der genannten relation umkehren, was ich auch getan habe.

Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst. Schreib doch erstmal konkret auf, was bei der Symmetrie zu zeigen ist.

14.11.2009, 19:55

Evelyn89

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ok, also zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) \Rightarrow (y_1,y_2) \sim (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$

Und die gegebene Relation ist definiert durch:

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \exists r : (y_1,y_2)=(rx_1,rx_2) \end{eqnarray*}$

so weit so gut. Ich dachte ich kann das einfach zeigen indem ich die gegeben Relation "einsetze" und damit klarmache, dass die Symmetrie gilt. Dabei kam bei mir folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)=(rx_1,rx_2) \Rightarrow (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ , wenn gilt, dass r = e ist.

Also, wenn r das neutrale element ist.

Ich dachte mir, dass die Symmetrie erfüllt ist, da es ausreicht wenn EIN r existiert, dass die Bedingung erfüllt und das ist in diesem Fall r=1.

Ich verstehe nicht wo mein Fehler liegt. Könnt ihr mich vielleicht etwas mehr aufklären??
Wär wirklich toll, da ich wirklich nicht weiterkomme.

14.11.2009, 19:58

Evelyn89

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Zitat:

Original von kiste
Wenn rx_1 = y_1 was ist dann x_1?

nun ja, ich dachte , dass $\begin{eqnarray*} x_1=rx_1=y_1 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist.

15.11.2009, 10:52

Evelyn89

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Kann mir wirklich niemand helfen?

Tut mir leid, wenn ich mich so dumm anstelle, aber dieses Thema "Relationen usw." meint es irgendwie nicht gut mit mir. Irgendwie kann ich damit noch nicht umgehen.
Wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

15.11.2009, 10:54

kiste

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Dachte eigentlich klarsoweit hätte hier weitergemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

r ist aber nicht das neutrale Element, sondern eine beliebige reellen Zahl die eben nicht 0 ist!

Was du machen willst ist ja von $\begin{eqnarray*} (rx_1, rx_2) = (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) = (\tilde r x_1, \tilde r x_2) \end{eqnarray*}$ zu kommen. Wie du dieses $\begin{eqnarray*} \tilde r \end{eqnarray*}$ ausrechnest hab ich dir ja schon angedeutet!

15.11.2009, 11:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Evelyn89
so weit so gut. Ich dachte ich kann das einfach zeigen indem ich die gegeben Relation "einsetze" und damit klarmache, dass die Symmetrie gilt. Dabei kam bei mir folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)=(rx_1,rx_2) \Rightarrow (rx_1,rx_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ , wenn gilt, dass r = e ist.

Und das ist eben dein Gedankenfehler.

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists r_1 : (y_1,y_2) = (r_1 \cdot x_1, r_1 \cdot x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \sim (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists r_2 : (x_1,x_2) = (r_2 \cdot y_1, r_2 \cdot y_2) \end{eqnarray*}$

Aber nirgendwo ergibt sich sich, daß r_1 = r_2 = 1 ist. Dann müßte ja auch x_1 = x_2 und y_1 = y_2 sein.

Zitat:

Original von kiste
Dachte eigentlich klarsoweit hätte hier weitergemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alter Mann ist kein D-Zug. Bin gerade ein paar Minuten online. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2009, 11:21

Evelyn89

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hmm.. also ich habs mal versucht, bin mir aber immer noch sehr unsicher, da ich die Relation an sich nicht wirklich verstehe, denke ich.

also:

was zu zeigen war, steht ja oben. und ich dachte mir man kann das so machen:

$\begin{eqnarray*} (r'x_1,r'x_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ d.h. also, dass $\begin{eqnarray*} r'x_1=y_1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Und damit erhält man: $\begin{eqnarray*} r'=\frac{y_1}{y_2} \end{eqnarray*}$ Analog mit x_2 und y_2.

Ist der Ansatz richtig?

15.11.2009, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Evelyn89
Und damit erhält man: $\begin{eqnarray*} r'=\frac{y_1}{y_2} \end{eqnarray*}$ Analog mit x_2 und y_2.

Ist der Ansatz richtig?

Nein. Erstens ist $\begin{eqnarray*} r'=\frac{y_1}{x_1} \end{eqnarray*}$ , wobei dann schon x_1 ungleich Null sein muß. Und zweitens wird ein r'' gesucht mit $\begin{eqnarray*} r'' \cdot y_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ .

Warum löst du nicht $\begin{eqnarray*} r' \cdot x_1 = y_1 \end{eqnarray*}$ nach x_1 auf?

15.11.2009, 12:32

Evelyn89

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hmm.. also allmählich blicke ich gaar nicht mehr durch.
ich dachte wir suchen ein passendes r' und kein x_1 ??

na , jedenfalls, wenn ich nach x_1 umstelle kommt da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{y_1}{r'} \end{eqnarray*}$

Verstehe jetzt aber nicht wieso ich diesen Schritt gemacht habe.... ??

15.11.2009, 12:35

Evelyn89

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ah moment mal! wenn ich das wieder einsetze kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (r' \cdot \frac{y_1}{r'},r' \cdot \frac{y_2}{r'})=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

durch kürzen erhält man:

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

also ist die Symmetrie vorhanden. so korrekt? verwirrt

verwirrt

15.11.2009, 12:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Evelyn89
ich dachte wir suchen ein passendes r' und kein x_1 ??

Wir suchen (und da wiederhole ich mich) ein passendes r'' mit $\begin{eqnarray*} r'' \cdot y_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r'' \cdot y_2 = x_x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Evelyn89
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{y_1}{r'} \end{eqnarray*}$

Verstehe jetzt aber nicht wieso ich diesen Schritt gemacht habe.... ??

Nun vergleiche mal diese Gleichung mit $\begin{eqnarray*} x_1 = r'' \cdot y_1 \end{eqnarray*}$ . Was könnte man da für r'' nehmen?

Zitat:

Original von Evelyn89
also ist die Symmetrie vorhanden. so korrekt? verwirrt

verwirrt

unglücklich

Auf diesen Beitrag gehe ich jetzt mal nicht ein.

15.11.2009, 12:38

Evelyn89

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wieso denn nun r'' ?? haben wir jetzt 3 verschiedene r?? also r,r',r'' ??

15.11.2009, 12:40

Evelyn89

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ich hasse diese aufgabe :-(

böse

böse

Hammer

böse

traurig

traurig

15.11.2009, 15:04

klarsoweit

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Die Verwirrung kommt eigentlich nur durch unsauberes Aufschreiben. Also nochmal:

Wir haben daß $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ ist . Das bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists r' : (y_1,y_2) = (r' \cdot x_1, r' \cdot x_2) \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \sim (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ ist. Das bedeutet, es ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \exists r : (x_1,x_2) = (r \cdot y_1, r \cdot y_2) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du zeigen, daß es ein derartiges r gibt.

15.11.2009, 15:05

Evelyn89

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dann sagt mir doch einfach bitte wie die lösung aussieht. ich hab jetzt schon alles versucht.
ich versteh das ganze an sich nicht und kann mit dieser relation nichts anfangen. bin am verzweifeln.
ich habe noch mehr übungsaufgaben zu diesem thema. die anderen werd ich dann alleine machen.
aber ich brauche einfach ein musterstück. dieses thema wurde bei uns auch nicht besprochen.
im skript steht nichts drin und in der vorlesung wurde dazu auch nichts erwähnt und dennoch haben wir diese aufgaben. wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand noch den letzten schritt zeigen könnte.

p.s.: wie sieht es denn mit der transitivität aus? ist wahrscheinlich auch falsch oder?

15.11.2009, 15:05

Evelyn89

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oh sorry, habe deine antwort bis dahin nicht gelesen. danke nochmal.

15.11.2009, 15:08

klarsoweit

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Es ist jetzt nur noch ein kleiner Schritt, und den solltest du selber schaffen.

Zitat:

Original von Evelyn89
p.s.: wie sieht es denn mit der transitivität aus? ist wahrscheinlich auch falsch oder?

Ja. Auch hier solltest du erstmal aufschreiben, wovon man ausgehen kann, und was zu zeigen ist.

15.11.2009, 21:47

Evelyn89

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ehrlich gesagt hat mir keines von euren "Tips" weitergeholfen, da ihr immer das gleiche sagt und ich schon am anfang angemerkt habe, dass ich mit dem gesagten nichts anfangen kann......

jedenfalls habe ich es nochmal versucht und habe nun folgendes raus, was wahrscheinlich aber wieder falsch sein wird:

wir hatten ja schon:

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{y_1}{r} \end{eqnarray*}$ auf der einen Seite und auf der anderen Seite:

$\begin{eqnarray*} x_1=r'y_1 \end{eqnarray*}$ Das ist das wo wir hinwollen.

Durch Einsetzen komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_1}{r}=r'y_1 \Rightarrow y_1=rr'y_1 \Rightarrow rx_1=rr'y_1 \Rightarrow x_1=r'y_1 \end{eqnarray*}$

Also existiert ein r' .

Unabhängig davon ob das Ergebnis richtig sein wird, würde ich mich freuen wenn ihr mich aufklärt, da das alles noch wie ein geheimnis für mich ist. danke

15.11.2009, 21:50

Evelyn89

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natürlich das gleiche nochmal analog mit y_2 . logisch.

ähm... wie macht man eigentlich den Äquivalenzpfeil mit LaTex?

16.11.2009, 09:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Evelyn89
Durch Einsetzen komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_1}{r}=r'y_1 \Rightarrow y_1=rr'y_1 \Rightarrow rx_1=rr'y_1 \Rightarrow x_1=r'y_1 \end{eqnarray*}$

Also existiert ein r' .

Da bist du nur im Kreis gelaufen und hast nicht wirklich gezeigt, daß es ein r' geben muß. Warum löst du $\begin{eqnarray*} \frac{y_1}{r} = r'y_1 \end{eqnarray*}$ nicht nach r' auf, denn um dieses geht es uns doch? Dann weißt du, wie das r' aussehen muß, und obendrein ist damit auch die Existenz geklärt.

Äquivalenzpfeil in Latex: \Leftrightarrow

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