Ist die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar?

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saeff Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar?
Also nach einer Def. in Hildebrandt, Stephan, Analysis 1 heißt eine Menge abzählbar, wenn sie der Menge der nat. Zahlen gleichmächtig ist, anderenfalls überabzählbar. Nun wäre meine Begründung die, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge von IN größer ist als die von IN selbst, dh.sie ist nach def. überabzählbar. aweiß nur nicht, ob man so argumentieren darf und ob diese Def. allgemeingültig ist.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

so wie ich das sehe ist auch die potenzmenge der natürlichen zahlen abzählbar, da du ja wieder eine bijektive abbildung von den natürlichen zahlen auf die potenzmenge machen kannst...

laut deiner argumentation wäre auch überabzählbar... und auch.

Dies sind aber 2 abzählbar unendliche Mengen. Die erste Menge die Überabzählbar ist ist eine Teilmenge von , da du keine bijektive abbildung mehr auf die natürlichen zahlen konstrueren kannst...

ich hoff ich hab jetzt kein scheiß erzählt ^^ aber des müsst egtl stimmen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sam Al Knödl
so wie ich das sehe ist auch die potenzmenge der natürlichen zahlen abzählbar, da du ja wieder eine bijektive abbildung von den natürlichen zahlen auf die potenzmenge machen kannst...


Genau das ist falsch.

Es gibt keine surjektive Abbildung von M auf P(M). Egal wie M geschaffen ist.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

okay... dann hab ich da was verwechselt... sry ^^

dann interessiert mich das jetzt auch mal... ist also überabzählbar?
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »



M ist überabzählbar bzw. kann surjektiv auf das reelle Intervall [0,1] abgebildet werden.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sam Al Knödl
dann interessiert mich das jetzt auch mal... ist also überabzählbar?


Die Antwort sollte doch klargeworden sein nach tmo's Antwort!

Noch was: Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist nicht notwendigerweise überabzählbar, denn eine Teilmenge von IR ist ja auch IN - und das ist ja abzählbar. Noch schlimmer: Du kannst auch endliche Teilmengen nehmen, die sind nichtmal abzählbar unendlich.

air
 
 
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

jau ich dachte da so an das intervall [0,1] in R das is überabzählbar ^^ :P ja ich hab mich bissl dumm ausgedrückt ^^
zu blöd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt keine surjektive Abbildung von M auf P(M). Egal wie M geschaffen ist.


Die kann ich liefern..
Von IN->P(IN):
Es wird bloß für jedes Elt. der Menge um dem Wert des Elements, eine 1 (binär) nach links geshiftet. Das Ergebnis rechne ich +1 um in IN zu gelagen (leere Menge enthält die Potenzmengenkonstruktion ja ebenfalls). So bilde ich ab
leere Menge -> 1
{0} -> 2
{1} -> 3
{0,1} -> 4
{2} -> 5
{0,2} -> 6
{1,2} -> 7
{0,1,2} -> 8
{3} -> 9
usw.
f ist bijektiv.
f^-1 bildet also surj. von IN->P(IN) ab.
Was ist daran nun falsch?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zu blöd, dass damit nur die endlichen Teilmengen von N eineindeutig auf N abgebildet werden.
flubbidup Auf diesen Beitrag antworten »

Für unendlich große f(x) gibt es also kein eindeutiges x? Aber zählt in der Unendlichkeit nicht bloß die Geschwindigkeit, mit der etwas divergiert? Sie ist ja eben nicht immer das selbe. Wie kann man sich also logisch erklären, dass f nicht für IN bijektiv wäre?

Zudem: "Egal wie M geschaffen ist." - Wenn M endlich ist, gibt es eben doch eine surj. Abb. von auf P(M), also ist die Aussage von "zu blöd" in dem Fall richtig?!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flubbidup
Für unendlich große f(x) gibt es also kein eindeutiges x? Aber zählt in der Unendlichkeit nicht bloß die Geschwindigkeit, mit der etwas divergiert? Sie ist ja eben nicht immer das selbe. Wie kann man sich also logisch erklären, dass f nicht für IN bijektiv wäre?


Das macht alles keinen Sinn. Kannst du das in einer vernünftigen Sprache schreiben?

Zitat:
Zudem: "Egal wie M geschaffen ist." - Wenn M endlich ist, gibt es eben doch eine surj. Abb. von auf P(M), also ist die Aussage von "zu blöd" in dem Fall richtig?!


Nein, da hast du Unrecht. Insbesondere bei endlichen Mengen kannst du nur dann surjektiv abbilden, wenn die Zielmenge höchstens so viele Elemente wie die Urbildmenge hat. Eine n-elementige Menge m hat aber eine 2^n-elementige Potenzmenge P(M). Und das sind deutlich mehr Elemente. Da kriegst du nichts surjektiv von M auf P(M) hin.

air
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flubbidup
Für unendlich große f(x) gibt es also kein eindeutiges x? Aber zählt in der Unendlichkeit nicht bloß die Geschwindigkeit, mit der etwas divergiert?



Du solltest dich erstmal mit den absoluten Grundlagen befassen, nämlich was eine Funktion ist. Was du da von Divergenz erzählst, macht überhaubt keinen Sinn (hier geht es nicht um irgendwelche Grenzwerte). Es gibt auch keine unendlich große f(x). Aber es gilt zum Beispiel , aber was soll sein (mit der Def. von "zu blöd")?


Zitat:
Original von flubbidup
Zudem: "Egal wie M geschaffen ist." - Wenn M endlich ist, gibt es eben doch eine surj. Abb. von auf P(M), also ist die Aussage von "zu blöd" in dem Fall richtig?!



Nein, auch dann nicht , die Aussage "Egal wie M geschaffen ist." von Huggy ist genau richtig. Nehme dir doch mal eine endliche Menge (z.B. nur mit ein oder 2 Elementen) her.
flubbidup Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mit endlichen Mengen ist das klar, ich habe es nicht richtig überprüft..

Zur Frage:
f(IN) wäre eine unendlich große Zahl.. größer als die Mächtigkeit von IN.. (nämlich 2^|IN|. Was sagt uns das nun?

Es gibt doch 2 Möglichkeiten:
1. Ich habe meine Menge M = {1,2,3, ... ,n}. M enthält also n Elemente.
So enthalten auch die natürlichen Zahlen n Elemente, wobei n nur besonders groß ist. Also ist |IN| in IN enthalten und 2^|IN| muss wieder eine natürliche Zahl sein. (in diesem Fall "überholt" sich das bisher bekannte maximale Element wieder, was es ja darf, da die Mächtigkeit doch beliebig groß ist)

2. IN enthält |IN| nicht, da dieser Betrag nicht "natürlich groß" sondern "unendlich groß" ist. Also ist 2^|IN| auch zu groß für IN.

Leider führen mich diese Überlegungen zu keiner sinnvollen Lösung. Dass alle behaupten, 1. sei falsch ist mir bekannt, aber wie kann man das wissen?
Und wenn 2. gilt, ist die Funktion doch trotzdem surjektiv, weil sie alle Elemente der Zielmenge trifft?


Ich bitte meinen Drang zu mathematischen Überlegungen gepaart mit meinem mathematischen Unwissen zu entschuldigen. Doch gebe ich zu bedenken, dass mathematisch auch nicht alles bewiesen wurde und noch viel auf bloßen Überlegungen basiert, die es zu kritisieren evlt. richtig ist.
leithian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

der klassische Beweis dass es keine surjektive Abbildung in die Potenzmege gibt ist sogar ganz hübsch.

Sei M eine Menge, ang. es gibt f: M -> P(M) surjektiv,

definiere

wegen Surjektivität gibt es ein y in M, sodass A=f(y), dann:



Widerspruch

mfg
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