Umkehrfunktion bilden

14.11.2009, 17:01

Tom S.

Umkehrfunktion bilden

Hallo,
wie bilde ich die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

Die ist ja $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\ge 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=-\sqrt[3]{-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . Durch Überlegen kommt man drauf. Also -x, da die Wurzel im reellen ja für negative Zahlen nicht definiert ist. Und -f(x), da die Funktion Ungerade ist. Aber geht das ganze auch irgendwie rechnerisch?

14.11.2009, 19:17

mYthos

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Ja. Die Variablen vertauschen und dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} x = y^3 \end{eqnarray*}$ nach y auflösen.

mY+

16.11.2009, 19:25

Tom S.

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Hmm. da komme ich doch durch Umstellen auch nur auf $\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]x \end{eqnarray*}$ . Und dann müsste ich mir ja auch wieder überlegen, das bei ungeradem Exponenten die Vorzeichen bleiben und dann minus mal minus plus ergibt.

16.11.2009, 23:06

mYthos

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Reelle Wurzelfunktionen bzw. Potenzfunktionen mit nicht ganzzahligen Exponenten sind prinzipiell nur für Radikanden größer gleich Null definiert.
Im Falle des ungeraden ganzzahligen Wurzelexponenten wird die Funktion in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ abschnittsweise definiert:

$\begin{eqnarray*} f:= \mathbb R \to \mathbb R, \ x \to f(x) \end{eqnarray*}$
----------------------------------------
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[3]x \ \text{für} \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = -\sqrt[3]{-x} \ \text{für} \ x < 0 \end{eqnarray*}$

mY+

17.11.2009, 17:17

Tom S.

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Ok also ist das einfach so festgelegt. Aber müsste eine 3. Potenz ncit 3 Lösungen haben? x^2 hat ja auch 2 Lösungen...

17.11.2009, 17:59

Kääsee

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Zitat:

Original von Tom S.
Aber müsste eine 3. Potenz ncit 3 Lösungen haben? x^2 hat ja auch 2 Lösungen...

nee!
x² ist immer positiv, weil -*-=+ und +*+=+
Du kannst also, wenn x² 4 ist, als Lösung 2 und -2 haben, weil beides quadriert 4 ergibt.
und bei x^3 ist es so:
wenn $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ negativ ist, muss x auch negativ sein, weil -*-*-=-
wenn $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ positiv ist, muss x positiv sein, weil +*+*+=+

Deshalb gibt es bei $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ immer nur eine Lösung smile

17.11.2009, 18:03

Tom S.

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Ok Also ist die Lösung bei geraden eponenten:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt[2n] a \end{eqnarray*}$
und bei ungeraden:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n+1] a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt[2n+1] {-a} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 00:04

mYthos

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Zitat:

Original von Tom S.
Ok also ist das einfach so festgelegt. Aber müsste eine 3. Potenz ncit 3 Lösungen haben? x^2 hat ja auch 2 Lösungen...

Selbstverständlich hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^3 = x \end{eqnarray*}$ drei Lösungen, jedoch ist hier nur eine reell, die anderen beiden (konjugiert) komplex. Deswegen habe ich ja auch geschrieben: Reelle Funktionen, wenn du dort nachsiehst ...

mY+

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