Verkettung von zwei Funktionen

14.11.2009, 17:28

Nerospeed

Verkettung von zwei Funktionen

Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit der Verkettung von Funktionen.
Es sei gegeben

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) =1/x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R+ \to \mathbb R+ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x) =\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

bilden sie wenn möglich $\begin{eqnarray*} (f\circ g) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g\circ f) \end{eqnarray*}$

So dann habe ich einfach angefangen einzusetzen bzw zu verketten

$\begin{eqnarray*} (f\circ g) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g(f(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g(\sqrt{f(x)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1/x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (g\circ f) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(g(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1/x(g(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? Wenn ich die dann beide Zeichne sind sie äquivalent

Gruß

14.11.2009, 18:07

Funky

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Hallo!

Also das Ergebnis ist erst einmal so weit richtig (falls ihr den Verkettungsoperator auch so definiert habt). Und dass die Ausdrücke äquivalent sind folgt ja auch mit Anwendung der Potenzgesetze. Die mathematische Formulierung ist aber etwas seltsam bzw. gar falsch. (Ich meine z.B. $\begin{eqnarray*} f(g(x))=1/x(g(x)) \end{eqnarray*}$ )
Besser wäre: $\begin{eqnarray*} (f\circ g)=g(f(x))=g(\frac 1 x)=\sqrt{\frac 1 x} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (g\circ f)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem solltest du etwas auf die Definitionsbereiche aufpassen. f ist bestimmt nicht auf ganz R definiert Augenzwinkern

Aber das nur am Rande.

Grüße

14.11.2009, 18:30

Nerospeed

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Oky super, aber was meinst du mit

Zitat:

"falls ihr den Verkettungsoperator auch so definiert habt"

und mit

Zitat:

Außerdem solltest du etwas auf die Definitionsbereiche aufpassen. f ist bestimmt nicht auf ganz R definiert

also in der Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} f: \end{eqnarray*}$ in der Tat $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Danke Gruß

14.11.2009, 19:40

Funky

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Zitat:

Original von Nerospeed
Oky super, aber was meinst du mit

Zitat:

"falls ihr den Verkettungsoperator auch so definiert habt"

Bei mir an der Uni verknüpft der Operator die Funktionen genau umgekehrt, also $\begin{eqnarray*} (f\circ g)=f(g(x)) \end{eqnarray*}$ . Das ist nur Definitionssache, aber könnte halt ne Fehlerquelle sein.

Zitat:

Original von Nerospeed
und mit

Zitat:

Außerdem solltest du etwas auf die Definitionsbereiche aufpassen. f ist bestimmt nicht auf ganz R definiert

also in der Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} f: \end{eqnarray*}$ in der Tat $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann ist das dort etwas ungenau, denn was ist für x=0? =) Ist vielleicht etwas kleinkariert, aber das spielt halt insofern eine Rolle, dass du in g(x) 0 einsetzen kannst, in f(x) oder in Verknüpfungen mit f(x) nicht.

Grüße

15.11.2009, 11:06

David_pb

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Und bei $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ muss noch der Bildbereich von f auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$ eingeschränkt werden, nicht?

15.11.2009, 12:40

Mystic

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Zitat:

Original von David_pb
Und bei $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ muss noch der Bildbereich von f auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$ eingeschränkt werden, nicht?

Nein, wenn schon, dann muss man den Definitionsbereich von f in dieser Weise einschränken... Aber diese Notwendigkeit zeigt ja gerade, dass g o f im Sinne der Aufgabenstellung gar nicht definiert ist...

15.11.2009, 21:43

Nerospeed

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Hallo

R --> R

Also so wie ich es verstanden habe sind das ja alle Reellen zahlen. Wenn zB R+ halt nur die positiven reellen zaheln. Funktionen verketten kann ich doch nur, wenn sie eine gemeinsame Menge haben oder?
Also könnte ich R- --> R- nicht mir R+ --> R+ verketten?

Gruß

15.11.2009, 23:30

David_pb

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Die Bildmenge von f muss in der Definitionsmenge von g liegen, wenn du f*g verkettest. Also funktioniert f: R- --> R- mit g: R+ --> R+ nicht.

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