Hessesche Normalenform gleichsetzen

14.11.2009, 17:35

KristinKinney

Hessesche Normalenform gleichsetzen

Hallo!
Ich muss bald eine Mathehausaufgabe einreichen und stehe mit gewissen Aufgabenstellungen noch auf dem Kriegspfad.

Wenn man zwei Hessesche Normalenformen miteinander gleichsetzt, warum macht man dies einmal mit + und einmal mit - ?
Also:
$\begin{eqnarray*} ( \vec{x} - \vec{p}) * \vec{n0} = \pm ( \vec{x} - \vec{q}) * \vec{m0} \end{eqnarray*}$ ?
Irgendwie steig ich da nicht ganz hinter.

Es wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte smile

Liebe Grüße,
Kristin

14.11.2009, 17:43

riwe

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RE: Hessesche Normalenform gleichsetzen
weil es 2 (zwei smile

) winkelhalbierende geraden/ebenen gibt(, die senkrecht aufeinander stehen)

14.11.2009, 18:09

KristinKinney

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Dass es zwei Ebenen gibt, erscheint mir logisch. Und deshalb wird einmal + und einmal - gerechnet? verwirrt

Sorry, ich bin echt kein Blitzmerker in Mathe x)

Noch etwas: Die folgende Aufgabe sagt, dass ich nun mit den daraus entstandenen allgemeinen Winkelhalbierenden
$\begin{eqnarray*} W1/2: (\vec{x}-\vec{p})*\vec{m0} \pm (\vec{x}-\vec{q})*\vec{n0} = 0 \end{eqnarray*}$
die Winkelhalbierende zweier gegebener Gerade ausrechnen soll. Wenn ich dies jedoch tue, kommen nicht die selben Normalvektoren der Winkelhalbierenden raus, wie wenn ich normal nach
$\begin{eqnarray*} \vec{w1/2} = \vec{m0} \pm \vec{n0} \end{eqnarray*}$
rechnen würde?!

14.11.2009, 18:39

riwe

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Zitat:

Original von KristinKinney
Dass es zwei Ebenen gibt, erscheint mir logisch. Und deshalb wird einmal + und einmal - gerechnet? verwirrt

zeichne dir die beiden normierten normalvektoren und deren summe bzw. differenz auf, dann siehst du es sofort.

da hast du dich einfach verrechnet.
solange du deine rechnung nicht hierher malst, bleibt es auch mir ein rätsel smile

14.11.2009, 18:53

KristinKinney

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Okay, danke schon mal für das smile

Also, die beiden Ebenen lauten
$\begin{eqnarray*} E1: [\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0<br /> E2: [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}] * \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese jetzt aber in die eben angegebene Formel einsetze kommen bei mir für die beiden Winkelhalbierenden
W1: -8x1 - 4x2 + x3 = 3
W2: -4x2 + x3 = 3
raus.
Da würden die Normalenvektoren aber nicht mit dem Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \vec{w1/2} = \vec{m0} \pm \vec{n0} \end{eqnarray*}$ übereinstimmen... irgendwas mach ich falsch verwirrt

14.11.2009, 19:08

riwe

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Zitat:

Original von KristinKinney
Okay, danke schon mal für das smile

das wundert mich nicht, da stimmt ja gar nix bis wenig geschockt

$\begin{eqnarray*} E_1:\quad{ }\frac{-4x+4y+2z-6}{6}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:\quad{ }\frac{4x-8y-z-3}{9}=0 \end{eqnarray*}$

und das gibt in allen varianten (mit den "gesäuberten" werten)

$\begin{eqnarray*} \vec{w}_1=(1,-1,1)^T\wedge \vec{w}_2=(-20,28,8)^T \end{eqnarray*}$

hast du beachtet, dass die nenner verschieden sind verwirrt

14.11.2009, 19:20

KristinKinney

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Und ich versteh gerade ehrlich gesagt gar nicht, was du gemacht hast verwirrt

Ich habe die beiden Ebenen gegeben und soll nur mit Hilfe der angegebenen Formel die Gleichung der beiden Winkelhalbierenden aufstellen....

14.11.2009, 19:29

riwe

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das ist genau, was ich gemacht habe. anschließend habe ich halt ausmultipliziert,
was dir auch nicht erspart bleiben wird unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{(\vec{x}-(1,2,1)^T)\cdot(-4,4,2)^T}{6}\pm\frac{(\vec{x}-(2,1,-3)^T)\cdot(4,-8,-1)^T}{9}=0 \end{eqnarray*}$

so sollte deine rechnung (vorher) ausschauen.

also schreibe doch einmal alles hier her,
wenn du hilfe willst und ich den fehler finden soll
die raterei geht mir auf den.... Big Laugh

und frage bitte konkret und nicht " ... irgendwie kenne ich mich gerade irgendwo und irgendwann nicht aus"

14.11.2009, 19:43

KristinKinney

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Ich wollte eigentlich nur wissen, ob mein Vorgehen richtig ist, den Fehler hätte ich dann schon selbst gesucht, ich habe also nicht erwartet, dass du den Fehler für mich "errätst" Augenzwinkern

Und da ich deinen vorherigen Post nicht verstanden hatte, konnte ich leider auch keine konkretere Frage stellen.

Also die Aufgabe fängt an mit
"Gegeben sind die Ebenen E1 und E2 durch ihre Gleichungen in Hesse'sche Normalenform:
$\begin{eqnarray*} E1: (\vec{x}-\vec{p})*\vec{m0}=0<br /> E2: (\vec{x}-\vec{q})*\vec{n0}=0 \end{eqnarray*}$ "

Nun bin ich aufgrund des $\begin{eqnarray*} \vec{m0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n0} \end{eqnarray*}$ davon ausgegangen, dass das schon der normierte Normalenvektor wäre, ich also gar nicht mehr durch den Betrag teilen müsste. Ich schätze mal, dass das mein Fehler war und werde es jetzt noch mal rechnen.

14.11.2009, 19:48

riwe

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entschuldige, wenn du von einem normierten vektor sprichst, solltest du auch wissen, was ein normierter vektor ist.

aber damit haben wir ja nun eine konkrete frage und die antwort darauf:

du mußt ihn auf die länge 1 stutzen.
und dass $\begin{eqnarray*} (-4,4,2)^T \end{eqnarray*}$ NICHT die länge 1 hat, ist doch offensichtlich, bzw. mußt du das halt überpüfen.

na hauptsache, es sind nun alle klarheiten beseitigt smile

14.11.2009, 19:56

KristinKinney

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Ja, das hatte mich auch gewundert. Allerdings war ich von diesem $\begin{eqnarray*} \vec{n0} \end{eqnarray*}$ verwirrt, da wir im Unterricht bei einer Schreibweise mit 0 immer vom Einheitsvektor geredet haben und ich die angegebene Ebene im Buch scheinbar falsch interpretiert habe.

Danke für deine Hilfe (und Geduld).

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