Integral cos(x)/x

14.11.2009, 19:42

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Integral cos(x)/x

Hallo liebe Forumsgemeinde,

ich sitze mal wieder über einem mathematischen Problem.
Ich versuche folgendes zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} ~\frac {cos(x)}{x}~ \end{eqnarray*}$

Mein erster Gedanke war ich schreibe den cos(x) in die Taylordarstellung um, integriere dann, setze die Grenzen ein und erhalte eine alternierende, monoton fallende Reihe, welche nach dem Leibnitz-Kriterium konvergent ist.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} ~\sum_{n=1}^{\infty} ~\frac {(-1)^n}{(2n)!} * \frac {x^{2n}} {x}~dx \end{eqnarray*}$

Ausgewertet erhalte ich nun:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~\frac {(-1)^n}{(2n)!} * (2n-1) \end{eqnarray*}$

Diese Reihe ist nach Leibnitz konvergent, aber wie berechne ich ihren Wert?
Maple liefert mir:
-sin(1)-cos(1) = -1,38177

Aber ich habe keine Ahnung, wie ich darauf kommen kann.
Vielen dank für eure Hilfe.
Grüße
Stefan

14.11.2009, 22:28

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RE: Integral cos(x)/x
Dein Integral ist nicht elementar integrierbar.
Die Stammfunktion ist der Integralcosinus Ci(x).
Für x=0 divergiert dieser.

Gruß
MI

15.11.2009, 09:41

Leopold

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Und die Divergenz kannst du leicht durch Angabe einer Minoranten zeigen. Schätze für ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < 1 \end{eqnarray*}$ im Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\varepsilon}^1 \frac{\cos x}{x}~\dd x \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ nach unten durch $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{2}{\pi} \, x \end{eqnarray*}$ ab.

Diese Abschätzung bekommst du sofort, wenn du im Cosinusgraphen die Sehne von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse nach $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse einzeichnest.

15.11.2009, 12:48

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Vielen, vielen Dank.

Wenn ich die Abschätzung einsetzte und dann elementar integriere erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} -ln(\epsilon)-\frac {\pi} {2} \end{eqnarray*}$

Und im Limes Epsilon gegen 0 erhält man dann die Divergenz.

Würde selbiger Trick auch bei:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{cos(x)}{1+x^2} ~dx \end{eqnarray*}$
funktionieren?

16.11.2009, 18:50

Leopold

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Zitat:

Original von GoTo
$\begin{eqnarray*} -ln(\epsilon)-\frac {\pi} {2} \end{eqnarray*}$

Ich wäre eher für $\begin{eqnarray*} - \ln \varepsilon - \frac{2}{\pi} (1 - \varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Und bei der neuen Frage beachte: $\begin{eqnarray*} | \cos x | \leq 1 \end{eqnarray*}$ . (Der Wert des Integrals ist übrigens $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2 \operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ , wie man z.B. mit komplexer Integration nachweisen kann. Residuensatz!)

16.11.2009, 19:32

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ups, hatte das Integral auf die Schnell falsch gelöst, sorry.

Komplexes Integrieren?? Noch nie was davon gehört.
Könntest du mir kurz skizzieren, worum es da geht und wie mann dann auf diesen Wert kommt?
Vielen dank, schonmal. Freude

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