Beweis vollständige Induktion

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NaTh Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis vollständige Induktion
Hallo an alle Mathe-Genies!
Ich hab ein Problem und zwar bin ich 12. Klasse Gymnasium und in Mathe machen wir gerade Beweisverfahren vollständige Induktion. des funktioniert ja auch alles ganz toll, doch jetzt sollen wir uns das selbst herleiten und ich komm irgendwie einfach nich drauf. Die Aufgabe lautet:
es soll bewiesen werden, dass es sich bei n um eine Natürliche Zahl handelt.

Wäre nett wenn mir jemand vielleicht den Anfang geben könnte, also den Induktionsanfang hab ich schon. Naja, hoffentlich kann mir hier weitergeholfen werden...
dankeschön... ciaoi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis vollständige Induktion
Zitat:
Original von NaTh
es soll bewiesen werden,

Meinst du:


Wenn ja, überlege welche Aussage du im Induktionsschritt beweisen mußt.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du nicht eher das gelten soll?
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau... wusste nicht wie ich des richtig darstellen kann, also mit dem Latex und so
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann schreibe mal, was du jetzt im Induktionsschritt beweisen mußt.
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Genau da liegt ja mein Problem. Ich weiß ich muss beweisen dass es sich bei n um Natürliche Zahlen handelt, aber wie verpack ich das jetzt in ne Gleichung?? Verstehst du was ich meine?
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Du sollst nicht beweisen das n natürlich ist. Das ist eine Voraussetzung um vollständige Induktion überhaupt anwenden zu können!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Sei A(n) deine Induktionsvoraussetzung also

Zu zeigen ist (nach dem Induktionsanfang), dass A(n+1) auch einer natürlichen Zahl entspricht (Induktionsschritt).

Gruß Björn
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Du kommst etwas durcheinander mit deinen Bezeichnungen, Björn.

Wenn du mit "A(n)" die Aussage "1/6n+... ist eine natürliche Zahl", dann ist die Aussage "Sei A(n) deine Induktionsvoraussetzung" in Ordnung.
[Das in der Induktionsvoraussetzung aber ein Allquantor vorkommt, ist eine Sünde und ziemlich falsch.]
Unter dieser Verwendung von A(n) ist die Formulierung "zz.: A(n+1) entspricht einer natürlichen Zahl" falsch, dann muss es einfach "zz.: A(n+1) wahr" heißen.

Deine zweite Formulierung "zz. A(n) entspricht einer natürlichen Zahl" hingegen wäre richtig, wenn du mit A(n) einfach die durch A(n)=1/6n+... berechnete Zahl meinen würdest.
Dann wäre deine Induktionsvoraussetzung aber nicht "A(n)", sondern dann wäre sie "A(n) liegt in IN".

Wie man es dreht, da ist was doppelt gemoppelt - aber der Allquantor ist der Schlimmste.

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Allquantor hast du natürlich vollkommen recht.
Habe das ehrlich gesagt auch nur blind aus irre.flexivs Post rauskopiert ^^

Danke LOED

Gruß Björn
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... ihr bringt mich durcheinander.... verwirrt Augenzwinkern
ALSO:
Element aus Natürlichen Zahlen (weiß immernoch nich wie man das in Latex schreibt)... dass soll ich beweisen
heißt es dann nicht dass ich Beweisen muss, dass der ganze Ausdruck eine Natürliche Zahl ergibt?? Ja oder bin ich jetzt ganz doof??
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig der ganze Ausdruck soll eine natürliche Zahl sein
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NaTh
Okay... ihr bringt mich durcheinander.... verwirrt Augenzwinkern

Das tut mir leid. Deswegen das ganze zusammengefaßt:

Wir haben eine Aussage, die da lautet:
A(n): Der Term liefert für jede natürliche Zahl n wieder eine natürliche Zahl.

Im Induktionsanfang hast du gezeigt, daß A(1) wahr ist.
Im Induktionsschluß mußt du zeigen, daß, wenn A(n) wahr ist, auch A(n+1) wahr ist. Dazu ist es hilfreich, wenn du erstmal das zu zeigende A(n+1) mal hinschreibst.
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sprechen wir die gleiche sprache. Induktionsanfang is ja einfach, hab ich gemacht, hat alles soweit gepasst. So und dann? Wie mach ich weiter? Mir fehlt da irgendwie das =. Und wenn ich jetzt für alle n (n+1) einsetze bringt mir das ja auch nich viel.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Setze halt mal n+1 ein ("bringt nicht viel??" was denn sonst??), dann bekommst du auch einen Ausdruck mit n.
Damit du da wieder deine Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst, musst du halt mal umstellen, so dass der Ausdruck aus der Induktionsvorsetzung wieder vorkommt.

Dann hast du diesen Ausdruck + X, du musst dann nur noch zeigen, dass X eine natürliche Zahl ist, dann ist es auch die Summe nach IA.

Jetzt du.
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich glaub ich habs... nur der Schluss verwirrt mich noch. Wie beweise ich, dass dieses +X auch ne Natürliche Zahl gibt. Tabelle?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Tabelle ?

Und wie lautet denn bei dir A(n+1) am Ende?

Gruß Björn
NaTh Auf diesen Beitrag antworten »

Also A(n+1) ist bei mir:
A(n+1)=
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig Freude

Wo ist dann also A(n) darin versteckt?
Und was könnte man aus dem Rest noch machen (binomische Formel) ?

Achja und lässt sich auch etwas schöner schreiben Augenzwinkern

Gruß Björn
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Und was könnte man aus dem Rest noch machen (binomische Formel) ?

muss doch gar nichts mehr mit gemacht werden, wenn ich mich nicht verguggt habe; der Rest ist doch ziemlich offensichtlich natürlich...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, ist es auch, aber so kommen dann gar keine Zwiefel mehr auf und wenn man das schonmal so schön faktorisieren kann...

Aber hast recht, muss nicht sein Big Laugh

Gruß Björn
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