fibonacci folge

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mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »
fibonacci folge
die fibonacci folge wird definiert durch:
, , und

zeige: für alle

ich hab schon versucht mit induktion anzufangen. der anfang für n=1 und n=2 stimmt schon mal. aber beim induktionsschluss komm ich auf keinen grünen zweig. da komt nix richtiges bei rum. das hier einzugeben würde auch zu lange dauern.
bin ich mit induktion überhaupt aufm richtigen weg, oder kann mans auch anders lösen.

würde mich sehr über hilfe freuen.

ich habe diese frage in keinem anderne forum gestellt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für erhält man, dreimal die Rekursionsvorschrift anwendend:





In der Induktionsannahme gehen wir nun für ein von der Gültigkeit von



aus. Jetzt ist daraus auf zu schließen. Dazu wird zunächst nach der eingangs hergeleiteten Beziehung ersetzt:



Dann weiter mit der Induktionsannahme:





Jetzt kommst du folgendermaßen ans Ziel: Ersetze stets das Glied mit dem höchsten Index überall, wo es auftritt, gemäß der Rekursionsvorschrift, multipliziere aus und fasse zusammen - so lange, bis sich alles in Wohlgefallen auflöst.

So geht es. Aber oft kommt man bei solchen Aufgaben mit einem geschickt gewählten Kniff schneller ans Ziel. Du darfst also weiter nach Optimierungen suchen.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach folgt das auch sehr einfach aus der expliziten Formel



wobei und die zwei verschiedenen Lösungen von



sind... Diese darf man aber um Gotteswillen nicht ausrechnen, sondern man sollte immer nur verwenden, dass gilt



Aber dann ist die Rechnung sehr kurz, wenngleich etwas "tricky"... Augenzwinkern

Edit: Seh gerade, dass man anscheinend überhaupt nur mehr



im Laufe der Rechnungen dann benötigt... Demnach würde das für die viel allgemeinere Klasse von U-Lucasfolgen gelten, für welche diese Bedingung erfüllt ist...

Edit2: Hab das gerade mit Hilfe eines CAS gecheckt und ja, obige Beziehung würde tatsächlich auch dann gelten, wenn die Fibonaccifolge bei gleichen Startwerten durch



mit eirgendeinem ganzen k definiert wäre...
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versucht die "ganz normale" Induktion für die obengenannte Aufgabenstellung zu machen.
n=0 ist 1 und n=1 ist auch 1

Induktionsschritt:
F 2(n+1)+1 = F^2 (n+1)+1 + F^2 (n+1)
wenn ich das nun fröhlich verrechne und auch die Induktionsvoraussetzung einsetze, kommt folgendes heraus:

F 2n+3 = F 2n+1 + F^2 (n+1)
und nun???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ AnE

Darf ich dich darauf aufmerksam machen, daß das niemand versteht, da diese Art, die Dinge aufzuschreiben, keiner mathematischen Konvention entspricht?
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