Integrieren von Wurzelfunktionen

03.10.2006, 18:58

Kaori

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Integrieren von Wurzelfunktionen

Ich hab da eine dringende Frage und zwar wie integriere ich wurzelfunktionen:

ich habe diese Hier:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{2x+1}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe die Formel für das Integral gefunden, aber ich brauche den ganzen weg "zu Fuß"

Am besten so dass man es noch auf andere Aufgaben in dieser Art übertragen kann.
Das wäre eine Megahilfe, danke im Voraus

03.10.2006, 19:01

klarsoweit

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RE: Integrieren von Wurzelfunktionen
Wenn du Substitution schon hattest, dann substituiere u = 2x+1.

03.10.2006, 19:06

Kaori

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Leider, hat das, so wie ich es probiert habe nicht geklappt

Ich habe diese Aufgabe und es soll (8 2/3) rauskommen, aber ich hab schon alles mögliche probiert es zu Fuß zu rechnen es geht aber nicht

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~\sqrt{2x+1}~dx \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 19:10

klarsoweit

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Was hast du denn probiert?

Ansonsten siehe meine Frage oben.

03.10.2006, 19:13

Kaori

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Hab es probiert zu zerlegen, hab es probiert abzuleiten von anderen Aufgaben.

Ich hab mir sogar hier: http://integrals.wolfram.com/index.jsp das ausrechnen lassen alles eingesetzt und trotzdem funktioniert es nicht.
Bzw., wenn das Integral richtig ist was mirt die Site sagt wie komme ich dadrauf

Ich weiß das sind total dumme Fragen aber mein Lehrer erklärt nichts.

03.10.2006, 19:24

klarsoweit

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Dann nochmal meine Frage:
Hattet ihr Substitution?

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03.10.2006, 19:30

zweiundvierzig

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Wie Dir oben geraten wurde: Substitution.

$\begin{eqnarray*} u:=2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{2x+1}=\sqrt{u}=u^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Edit: Zu spät smile

smile

03.10.2006, 19:31

Kaori

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Ja aber nicht in diesem Zusamenhang.

Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~\sqrt{u}~dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * u*\sqrt{u}~ \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}* (2x+1) *\sqrt{(2x+1)}~ \end{eqnarray*}$

x=4
= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}* (9) *\sqrt{(9)}~ \end{eqnarray*}$

= 27.666667

Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht vertan, das Ergebniss muss laut Lehrer aber $\begin{eqnarray*} 8 \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ betragen

03.10.2006, 19:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaori
Ja aber nicht in diesem Zusamenhang.

Dann verstehe ich ehrlich gesagt deinen Lehrer nicht, daß er euch diese Aufgabe gibt.

Also wenn du die Idee hast, daß eine Stammfunktion die Form $\begin{eqnarray*} F(x) = a \cdot (2x+1)^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ haben könnte, dann leite mal F(x) ab und überlege dir, welchen Wert dann a haben muß.

03.10.2006, 19:41

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Kaori
Ja aber nicht in diesem Zusamenhang.

Substitution ist ein kontextfreies Verfahren, dass man in vielen Bereich verwenden kann.

Zitat:

Original von Kaori
x=4

Und wo hast Du die untere Grenze gelassen?

Edit: Argh, schon wieder zu spät

03.10.2006, 19:41

Kaori

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Eigentlich müsste dann a den Wert 0 haben, da es nicht in Verbindung mit dem x steht, oder.
Ich bin jetzt total verwirrt traurig

traurig

03.10.2006, 19:42

Kaori

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Kaori
Ja aber nicht in diesem Zusamenhang.

Substitution ist ein kontextfreies Verfahren, dass man in vielen Bereich verwenden kann.

Zitat:

Original von Kaori
x=4

Und wo hast Du die untere Grenze gelassen?

Da die untere grenze Null ist tut sie doch nichts zur Sache (laut unserem Lehrer)

03.10.2006, 19:44

zweiundvierzig

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Aber $\begin{eqnarray*} 2x+1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

03.10.2006, 19:45

klarsoweit

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Also nochmal, worum es geht.

Wir vermuten, daß die Stammfunktion die Form $\begin{eqnarray*} F(x) = a \cdot (2x+1)^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ hat. Dabei ist a eine Konstante,deren Wert wir noch bestimmen müssen. Wenn du F(x) ableitest, muß ja deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$ rauskommen. Also leite mal F(x) ab.

@42: Da sie offensichtlich keine Substitution bei der Integration hatte, macht es vermutlich keinen Sinn, damit weiterzumachen.

03.10.2006, 19:53

Kaori

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Aber $\begin{eqnarray*} 2x+1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~\sqrt{u}~dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * u*\sqrt{u}~ \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}* (2x+1) *\sqrt{(2x+1)}~ \end{eqnarray*}$

einsetzten der Grenzen
= $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3}* (9) *\sqrt{(9)}~) - (\frac{2}{3}* (1) *\sqrt{(1)}~) \end{eqnarray*}$

= 27

@ klarsoweit: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} a*(2x+1) ^(\frac{3}{2}-1) \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 19:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaori
@ klarsoweit: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} a*(2x+1) ^(\frac{3}{2}-1) \end{eqnarray*}$

Du meinst: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} a*(2x+1)^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} a*(2x+1)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche das mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$ . Welchen Wert muß also a haben?

EDIT: Achtung. Du hast die innere Ableitung vergessen!!!
Es muß also heißen:
$\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{3}{2} a*(2x+1)^{\frac{3}{2}-1} \cdot 2 \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 19:59

Kaori

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$\begin{eqnarray*} a= \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 20:00

klarsoweit

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Ja, wenn da nicht die innere Ableitung gefehlt hätte. Siehe nochmal oben.

03.10.2006, 20:02

Kaori

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Dann:
$\begin{eqnarray*} a= \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 20:06

klarsoweit

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Man könnte auch 1/3 sagen, aber ok.
Jetzt hast du eine Stammfunktion und damit kannst du also das Integral berechnen.

Viel Spaß noch. mache jetzt Feierabend Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2006, 20:07

Kaori

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Vielen Dank!!!!!!!

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