Ebenen, die einen Würfel begrenzen

14.11.2009, 23:29

Sona

Ebenen, die einen Würfel begrenzen

Ein Würfel hat $\begin{eqnarray*} A(2/3/3) \end{eqnarray*}$ als Ecke, eine Fläche der Ebene E1: $\begin{eqnarray*} 2x+4y+z=4 \end{eqnarray*}$ und eine Kante der Geraden $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Koordinatengleichungen der Ebenen E2, E3 und E4 angeben, die den Wprfel begrenzen und A enthalten.

Mein Problem: Der Ansatz-ich versuche ständig, mir das alles vorzustellen und scheitere jedes Mal an irgendetwas. Z.B. daran, dass ich gar nicht weiß, in welche "Richtung" sich dieser Würfel erstreckt: rechts, links, oben, unten....Das Umschreiben der gegebenen Ebene in Paramterform trug auch nicht zum Verständnis bei. Und Zeichnungen erst recht nicht.
Wie muss ich anfangen ? Es ist spät und ich verzweifle...vielleicht kann mir bis morgen Abend jemand mit dem Ansatz helfen...bitte.

15.11.2009, 00:24

Gualtiero

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RE: Ebenen, die einen Würfel begrenzen
Du kannst den Punkt A auf die Ebene abloten und so die Kantenlänge des Würfels bestimmen. Wenn sonst nichts gegeben ist, würde ich die Ebenen vom Punkt A weg konstruieren.

15.11.2009, 01:30

riwe

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RE: Ebenen, die einen Würfel begrenzen
da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegt, sowie $\begin{eqnarray*} g\quad{ }E_1 \end{eqnarray*}$ nicht schneidet:

mit dem richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ der geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2\parallel E_1:\quad{ }2x+4y+z+d=0\to 2x+4y+z-19=0 \end{eqnarray*}$

bzw. weil´s so schön symmetrisch ist:

$\begin{eqnarray*} E_2:\quad{ }(\vec{x}-\vec{a})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_3:\quad{ }(\vec{x}-\vec{a})\cdot\vec{r}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_4\quad{ }(\vec{x}-\vec{a})\cdot(\vec{n}\times\vec{r})=0 \end{eqnarray*}$

15.11.2009, 13:56

Sona

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RE: Ebenen, die einen Würfel begrenzen

Zitat:

Original von riwe
da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegt, sowie $\begin{eqnarray*} g\quad{ }E_1 \end{eqnarray*}$ nicht schneidet:

Genau, das hab ich auch durchgerechnet und verstanden...

Zitat:

mit dem richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ der geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$

So...die beiden sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Das hab ich auch noch verstanden...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E_2\parallel E_1:\quad{ }2x+4y+z+d=0\to 2x+4y+z-19=0 \end{eqnarray*}$

Okay, wie kommst du jetzt darauf, dass E1 und E2 parallel sein müssen?
Bzw.....deine Normalengleichung der Ebene E2 ist gleich der Normalengleichung von E1. Wie kann das sein ? verwirrt

[Und vielen Dank, dass ihr mir Hilfe angeboten habt, das weiß ich sehr zu schätzen...]

15.11.2009, 15:47

Sona

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Ich sehe gerade, dass ich nicht editieren kann. Ich werde mich demnächst anmelden, um ungewünschte Doppelpostings zu vermeiden. SORRY an dieser Stelle.

Zum Thema:
1. Ich glaube, ich hab die Antwort auf meine Frage, warum E1 und E2 gleich sein dürfen: E1 kann ja auch eine der drei gesuchten Ebenen sein, richtig ??? Und damit die "Rolle von E2" spielen...

2. Wie diese 3 von riwe genannten Ebenengleichungen zustande kommen: Die erste macht den Anfang mit dem Normalenvektor von E1.
Die zweite enthält den Richtungsvektor der Gerade g, welcher orthogonal zum Normalenvektor von E steht.
Die dritte Gleichung enthält das Kreuzprodukt- macht Sinn, wenn meine Vorstellung stimmt.
Meine Frage an dieser Stelle:

Wenn die Normalenvektoren von Ebenen orthogonal zueinander sind, sind dann auch die Ebenen selbst orthogonal zueinander??? (Die Frage ist wahrscheinlich etwas dumm...aber ich muss sie einfach stellen)

15.11.2009, 17:10

riwe

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Zitat:

Original von Sona
Ich sehe gerade, dass ich nicht editieren kann. Ich werde mich demnächst anmelden, um ungewünschte Doppelpostings zu vermeiden. SORRY an dieser Stelle.

Zum Thema:
1. Ich glaube, ich hab die Antwort auf meine Frage, warum E1 und E2 gleich sein dürfen: E1 kann ja auch eine der drei gesuchten Ebenen sein, richtig ??? Und damit die "Rolle von E2" spielen...

2. Wie diese 3 von riwe genannten Ebenengleichungen zustande kommen: Die erste macht den Anfang mit dem Normalenvektor von E1.
Die zweite enthält den Richtungsvektor der Gerade g, welcher orthogonal zum Normalenvektor von E steht.
Die dritte Gleichung enthält das Kreuzprodukt- macht Sinn, wenn meine Vorstellung stimmt.
Meine Frage an dieser Stelle:

Wenn die Normalenvektoren von Ebenen orthogonal zueinander sind, sind dann auch die Ebenen selbst orthogonal zueinander??? (Die Frage ist wahrscheinlich etwas dumm...aber ich muss sie einfach stellen)

lesen: A liegt NICHT in E1 geschockt

E1 und E2 sind nicht gleich sondern PARALLEL
der rest deiner vorstellungen deckt sich mit meinem verständnis der aufgabe Freude

natürlich sind die ebenen orthogonal, wenn ihre normalvektoren aorthogonal sind, das ist ja die definition orthogonaler ebenen smile

15.11.2009, 17:41

Sona

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Zitat:

E1 und E2 sind nicht gleich sondern PARALLEL

Aaaaaaah, jetzt wo du das nochmal betonst... geschockt

Zitat:

natürlich sind die ebenen orthogonal, wenn ihre normalvektoren aorthogonal sind, das ist ja die definition orthogonaler ebenen smile

Hehe, dacht ich's mir doch, dass die Frage etwas dumm war Ups

Aber danke !!! Augenzwinkern

DANKE, DANKE, DANKE! Wenn du wüßtest, wie glücklich ich jetzt bin, nach Stunden voller Verzweiflung mit der Aufgabe abschließen zu können... Wink

15.11.2009, 18:19

riwe

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Zitat:

Original von Sona

Zitat:

E1 und E2 sind nicht gleich sondern PARALLEL

Aaaaaaah, jetzt wo du das nochmal betonst... geschockt

Zitat:

natürlich sind die ebenen orthogonal, wenn ihre normalvektoren aorthogonal sind, das ist ja die definition orthogonaler ebenen smile

Hehe, dacht ich's mir doch, dass die Frage etwas dumm war Ups

Aber danke !!! Augenzwinkern

DANKE, DANKE, DANKE! Wenn du wüßtest, wie glücklich ich jetzt bin, nach Stunden voller Verzweiflung mit der Aufgabe abschließen zu können... Wink

a) sind fragen NIE dumm, höchstens antworten
b) registriere dich halt, dann machst du uns glücklich smile

ein späßchen muß sein

schön, wenn ich dir helfen konnte

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