Summe 1/k! < 3 beweisen

15.11.2009, 03:04

Hamsterchen

Summe 1/k! < 3 beweisen

Hallo alle zusammen,
ich muss folgende Ungleichungen lösen:
$\begin{eqnarray*} 2 \leq \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \leq \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}<3 \end{eqnarray*}$

zu den ersten Teilen hab ich eigentlich schon Lösungen, ich habe zum Bsp. den 2. Teil mit der binomischen Formel umgeformt und das kleinste k (also 1) eingesetzt, da kommt 2 raus.
Zu $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \leq \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ habe ich die zuvor bewiesene Ungleichung, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \geq \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\frac{1}{n^{k} } \end{eqnarray*}$ ist benutzt und umgeformt.
Mein Problem liegt in "3. Teil < 3"
Habe schon viel rumgeraten und gegoogelt, aber keinen Ansatz der was bringt. Wir sollten in der Aufgabe vorher beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!}\leq \frac{1}{2^{k-1} } \end{eqnarray*}$ ist, aber diese Abschätzung ist nicht genau genug, da dort die Werte ziemlich schnell 3 übersteigen.

Kann mir jemand dabei helfen? Wäre echt total nett =)

LG
Hamsterchen

15.11.2009, 10:29

kiste

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Wie ist deine Erklärung dafür dass die 1/2^(k-1) Abschätzung nicht funktioniert? Ich habe es nur kurz überflogen, komme aber mit diesem Ansatz+geom. Reihe gerade auf die 3

15.11.2009, 12:43

Hamsterchen

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geom. Reihe? wasn das? ^^
Also wenn ich da hin schreibe Summe aus 1/2^(k-1) und da einfach ma was eingebe für die ersten paar Zahlen, dann geht das über drei. Vielleicht könntest du mir das kurz erklären.
Achja, ich hab oben was von bin. Formel und K=1 einsetzen geschrieben, das stimmt aber net, einfach ignorieren, war gestern zu müde =)

15.11.2009, 12:45

kiste

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Zeig mir konkret wie es über 3 geht!

Die geometrische Reihe wirst du auf jeden Fall kennen, das ist so ziemlich das erste was man lernt Augenzwinkern

Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ und speziell für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

15.11.2009, 12:45

Sly

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Zitat:

Original von Hamsterchen
geom. Reihe? wasn das? ^^
Also wenn ich da hin schreibe Summe aus 1/2^(k-1) und da einfach ma was eingebe für die ersten paar Zahlen, dann geht das über drei.

Dann hast du ganz offenbar falsch gerechnet.

Eine geometrische Reihe ist eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$

15.11.2009, 13:18

Lord Pünktchen

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RE: Summe 1/k! < 3 beweisen
Hamsterchen hat eben nicht falsch gerechnet.

$\begin{eqnarray*} \frac{1} {2^{-1}} + \frac {1} {2^0} = 3 \end{eqnarray*}$

aber was weiterhelfen sollte ist der Hinweis von Kiste und die Tatsache, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1} {0!} = 1 \end{eqnarray*}$
Kombiniere beides und du hast dein kleiner 3

15.11.2009, 13:25

kiste

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Ich bin gar nicht auf die Idee gekommen dass jemand versuchen könnte die Abschätzung für k=0 zu benutzen

15.11.2009, 14:07

Hamsterchen

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erstmal vielen Dank für die Antworten, habs aber grad nur überfliegen können weil ich leider weg muss (Würds lieber jetzt mal selbst nachrechnen).
Aber ich schau mir das dann später nochmal genau an.
Aber kleine Frage: Das war kiste hingeschrieben hat, wie genau pack ich das in meine Ungleichung?
Aber wie gesagt, später schau ich mir das nochmal ganz genau an und versuche, es zu verstehn ^^
Aber geom. Reihe sagt mir trotzdem irgendwie nix -.-

Also bis später und Danke nochmal an alle

LG
Hamsterchen

15.11.2009, 14:48

Hamsterchen

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Hi nochmal, hab doch noch bissl Zeit bis ich weg muss und habs mal versucht.
Aber ich verstehs nich ganz.
Also ich dachte mir ich ersetzt das 1/k! durch die Abschätzung 1/2^(k-1) und schreibe das so um, dass ich diese geom. Reihe anwenden kann, also (1/2)^k * 2, und dann kann ich die 2 ja vor die summe schreiben und die geom. Reihe anwenden. q wäre ja dann in diesem Fall (1/2)
Dann steht da doch das oder? :
$\begin{eqnarray*} 2*\sum_{k=0}^n~(\frac{1}{2})^{k}=2\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1} }{1-\frac{1}{2} } = 4(1-\frac{1}{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

ich verstehs einfach nich xD
kann mir das mal jemand für blöde sozuasgen erklären?

Danke schonmal =)

15.11.2009, 17:35

Merlinius

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(\frac{1}{k!}) = 1 + \sum_{k=1}^n~(\frac{1}{k!}) \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja wie oben gesagt:

$\begin{eqnarray*} 1 + \sum_{k=1}^n~(\frac{1}{k!}) \leq 1 + \sum_{k=1}^n~(\frac{1}{2^{k-1}}) = 1 + \sum_{k=0}^{n-1}~(\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$

So und jetzt zeigst du, dass das immer kleiner als 3 ist mit der Formel für die geometrische Reihe. Der Rest ist nicht schwer.

15.11.2009, 18:11

Hamsterchen

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Hi
nochmals Danke für die Antwort, aber jetzt steht ja oben bei der Summe (n-1) anstatt n. Wie mache ich das denn dann?

15.11.2009, 18:47

Hamsterchen

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okeee ich glaub, ich habs ^^

also geht das jetzt in etwa so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!}\leq 1+\sum_{k=1}^n~\frac{1}{2^{k-1} }=1+\sum_{k=0}^{n-1}~\left(\frac{1}{2} \right)^{k}=1+\sum_{k=0}^n~\left(\frac{1}{2} \right)^{k}-(\frac{1}{2})^{n}<br /> =1+\frac{1-(\frac{1}{2})^{k} }{1-\frac{1}{2} }-(\frac{1}{2})^{n}=1+2-\frac{2}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{n}}=1+2-\frac{2}{2^{n} }=3-\frac{1}{2^{n} } \end{eqnarray*}$

Mein Problem wäre jetzt nur noch, dass ich nicht weiß, ob ich die geom. Reihe einfach so benutzen darf ohne sie voher zu zeigen. Aber es gibt ja eig. auch nur so 2,5 Punkte von 20.

Also Danke nochmal an alle

LG
Hamsterchen

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