Direkte Summe von Vektorräumen

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Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe von Vektorräumen
Hey ho,

kann mir gerade nochmal jemand den Unterschied zwischen der direkten Summe und der "normalen" Summe von zwei Vektorräumen erklären?

Also seien und Vektorräume, dann ist die

direkte Summe:


und die "normale" Summe:


Kann mir auch vielleicht jemand bei der Gelegenheit noch anschaulich erklären, was das jeweils bedeutet?! Freude

Lg Michel
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Die direkte Summe ist ein Sonderfall der "normalen" Summe. Eine Summe ist eine direkte Summe, wenn der Schnitt der beteiligten Untervektorräume ausschließlich das Nullelement enthält (d. h. - nicht zu verwechseln mit der leeren Menge). Wenn du zwei Vektorräume summierst, verknüpfst du einfach ihre beiden Basen. Wenn also gilt:
und

Dann ist
Jetzt kann es natürlich sein, dass die beiden linearen Hüllen und für sich genommen linear unabhängig sind, die Vereinigung der beiden muss das jedoch keineswegs sein. Z. B. kannst du im den Untervektorraum auswählen und ihn zu sich selbst addieren. Dann gilt: . Selbstverständlich ist das hier keine direkte Summe, weil beide Vektorräume gleich sind, der Schnitt also gleich dem Untervektorraum selbst ist. Nimmst du aber den Untervektorraum , so erhältst du: . Hier hast du eine direkte Summe, weil der Schnitt der beiden Vektorräume nur den Null-Vektor umfasst. Noch zwei Beispiele:
im : keine direkte Summe, da: . Außerdem verknüpfst du zwei Ebenen durch den Ursprung im , die müssen einen Schnitt haben, der mindestens die Dimension 1 hat.
Im direkte Summe. Du verknüpfst eine Ebene mit einer Gerade, damit spannst du gerade den auf.

Es gibt noch ein paar andere äquivalente Kriterien zu "Schnitt enthält nur den Nullvektor", aber dieses ist am leichtesten nachzuprüfen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi Noch zwei Beispiele:
im : keine direkte Summe, da: . Außerdem verknüpfst du zwei Ebenen durch den Ursprung im , die müssen einen Schnitt haben, der mindestens die Dimension 1 hat.
Im direkte Summe. Du verknüpfst eine Ebene mit einer Gerade, damit spannst du gerade den auf.

Puh, im Prinzip alles in diesem Abschnitt ist falsch.
U und V sind 1-dimensionale Untervektorräume! Deren Summe kann nicht den ganzen R^3 aufspannen.
Außerdem gilt in beiden Beispielen dass der Schnitt nur der Nullvektor ist(überprüfe das!).
Also gilt in diesen beiden Beispielen:
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch - früh morgens sollte ich nicht sowas schreiben. Ich revidiere meine Aussage Forum Kloppe
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

OK, also sehe ich das jetzt richtig, dass und gar nicht direkt verschiedene Operationen sind, die ich anwenden kann wie ich will, sondern dass es immer von und abhaengt, was fuer eine Art Summe ich nun habe?

Habe ich also und , dann existiert gar keine direkte Summe und ich kann sie folglich nicht berechnen, sondern dann ist nur moeglich (weil der Schnitt nicht nur der Nullvektor ist)?

Andersrum, wenn und , dann ist automatisch ?

Kurz gesagt:
Entweder ist oder existiert nicht?

Lg Michel
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand noch meine Frage beantworten?! smile

Lg Michel
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt so
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