Zweidimensionale Integrale

03.10.2006, 19:25

Zarambo

Zweidimensionale Integrale

Moin, ich hab ne Aufgabe zu zweidimensionalen Integralen und ich hab keine Ahnung, ob mein Ergebnis richtig ist. Wäre nett, wenn mal jemand drübergucken könnte.

Aufgabe: Berechne $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \end{eqnarray*}$ G f(x,y) d(x,y) für f(x,y) = $\begin{eqnarray*} x^{2}y \end{eqnarray*}$ und das Dreieck G mit den Eckpunkten (0,0), (0,3), (1,0)

Die Gleichung der Geraden durch (1,0) und (0,3) lautet y=-3x+3. Es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \end{eqnarray*}$ G f(x,y) d(x,y) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\int_{0}^{-3x+3}(x^{2}y)dy)dx \end{eqnarray*}$

Zuerst das innere Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-3x+3}(x^{2}y)dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}y^{2}]_{y=0}^{-3x+3} = [\frac{1}{2}x^{2}(-3x+3)^{2}] - [\frac{1}{2}x^{2}(0)] = \frac{9}{2}x^{4} - 9x^{3} + \frac{9}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} ( \frac{9}{2}x^{4} - 9x^{3} + \frac{9}{2}x^{2}) dx = [\frac{9}{10}x^{5} - \frac{9}{9}^{4} + \frac{3}{2}x^{3}]_{x=0}^{1} = \frac{3}{20} FE \end{eqnarray*}$

03.10.2006, 19:28

klarsoweit

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RE: Zweidimensionale Integrale
ist besser bei der HöMa aufgehoben.

*** verschoben ***

04.10.2006, 11:54

Zarambo

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Ich hab die Aufgabe + Rechnung mal einem Freund gezeigt, er meinte Rechnung und Ergebnis wären richtig.
Die Frage hat sich also erledigt smile

04.10.2006, 12:29

Abakus

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RE: Zweidimensionale Integrale

Zitat:

Original von Zarambo
$\begin{eqnarray*} [\frac{9}{10}x^{5} - \frac{9}{9}^{4} + \frac{3}{2}x^{3}]_{x=0}^{1} = \frac{3}{20} FE \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis kommt hin, ja. Der mittlere Term beim Integranden ist allerdings $\begin{eqnarray*} ... - \frac{9}{4}\cdot x^4 + ... \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

04.10.2006, 19:08

Zarambo

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Oh, stimmt. War ein Tippfehler, auf meinem Zettel hab ich $\begin{eqnarray*} - \frac{9}{4}\cdot x^4 \end{eqnarray*}$ stehen Augenzwinkern

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