Folgen und Reihen: Dreieck, Quadrate

15.11.2009, 12:14

eierkopf1

Folgen und Reihen: Dreieck, Quadrate

Hallo!

Folgendes Bsp:
Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinie $\begin{eqnarray*} c=6 \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} h=8cm \end{eqnarray*}$ werden aufeinander ruhende Quadrate eingeschrieben.
Man berechne die Summe der ersten 4 Quadratumfänge und Quadratflächeninhalte.

Mein Ansatz:
Es gilt laut dem Strahlensatz:
$\begin{eqnarray*} c:h = a_1 : (h-a_1) \end{eqnarray*}$

Umgeformt:
$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{ch}{h+c}=\frac{24} 7 \end{eqnarray*}$

Damit kann ich mir die Fläche und den Umfang des 1. Quadrates berechnen.

Für die anderen 3 Quadrate könnte ich analog vorgehen, aber wie bringe ich das in einem Zusammenhang mit Folgen und Reihen?

15.11.2009, 13:49

mYthos

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Berechne (zumindest) zwei aufeinanderfolgende Umfänge bzw. Flächen. Bei einer geometrischen Reihe (die diese Größen zweifellos bilden) kann damit der Quotient q ermittelt werden. Dessen Betrag muss kleiner als 1 sein, denn nur so hat die unendliche geometrische Reihe einen endlichen Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac{a_1}{1 - |q|} \end{eqnarray*}$

mY+

16.11.2009, 09:49

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Was mir noch nicht klar ist:

Zitat:

Original von mYthos
Berechne (zumindest) zwei aufeinanderfolgende Umfänge bzw. Flächen. Bei einer geometrischen Reihe (die diese Größen zweifellos bilden) kann damit der Quotient q ermittelt werden.

Warum bilden diese Größen eine geometrische Reihe?

Meine Lösungen sind übrigens (stimmen mit dem Lösungsheft überein):
Quadratumfänge: $\begin{eqnarray*} s_4 \approx 28.59 \end{eqnarray*}$
Quadratumflächeninhalte: $\begin{eqnarray*} s_4 \approx 17.26 \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 11:12

Alex-Peter

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RE: Folgen und Reihen: Dreieck, Quadrate
Noch eine zeichnerische Lösung der 4 Quadrate: +gemessener Umfang

16.11.2009, 11:36

mYthos

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Die Frage, warum diese Größen eine geometrische Folge/Reihe bilden, ist berechtigt, aber auch leicht zu beantworten. Du hast nur sicherzustellen, dass alle folgenden Längen durch Multiplikation der vorhergehenden mit einem konstanten Faktor hervorgehen. Das kann mittels des Strahlensatzes ganz allgemein gezeigt werden.

Es genügt übrigens, dies nur für die Längen durchzuführen, denn "automatisch" haben dann die davon abhängigen Flächen oder auch Volumina ebenfalls einen konstanten Quotienten. Bei den Flächen ist deren Quotient gleich dem Quadrat des Quotienten der Längen (Volumina -> 3. Potenz).

mY+

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