Verständnis gleichm. Konv. Potenzreihen

15.11.2009, 14:05

Bakatan

Verständnis gleichm. Konv. Potenzreihen

Es geht um den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} w\leq r~\text{mit }r<R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w<R \end{eqnarray*}$ . Den Notationsunterschied kann ich erkennen, ebenfalls wieso dieser einem bei Beweisen hilfreich wird. Aber ist nicht:

$\begin{eqnarray*} A:=\{w|w\leq r<R\}\quad\left(\text{alternativ }=\bigcup_{r\in I}\{w|w\leq r\};~I:=\{a\in\mathbb R_+|a<R\}\right);~B:=\{w|w<R\};~r,R\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in A\overset{\text{offensichtlich}}{\Rightarrow}x\in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in B\text{. Wir wählen }r:=\frac{R+x}{2}<R~\text{dann ist }x\in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Insgesamt: }A=B \end{eqnarray*}$

Irgendwie gibt das jetzt aber ein Problem? Wo liegt hier mein Fehler/Denkfehler?

Dies ist natürlich im Zusammenhang auf den Satz für gleichmäßige Konvergenz bei Potenzreihen zu verstehen, da dort soweit ich gelesen habe diese im allgemeinen nicht auf der vollen Kreisscheibe vorliegt.
Die Überlegung hier ist allerdings nicht gerade kompliziert, folglich passt das super in Schulmathe denke ich mal...

edit: In Hinsicht auf diesen Satz:
$\begin{eqnarray*} \text{Hat eine Potenzreihe }\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n~\text{den Konvergenzradius }R>0\text{, so konvergieren die Reihen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n~\text{und }\sum_{n=1}^\infty na_n(z-z_0)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{gleichmäßig auf jeder Kreisscheibe }|z-z_0|\leq r~\text{mit }0<r<R \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 20:32

Bakatan

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Mal wieder ein vorsichtiges *push*
Wo liegt denn nun der Unterschied, weswegen ich nicht sagen darf es konvergiert gleichmäßig für |z-z0|<R ?

16.11.2009, 20:44

sergej88

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ich weiss nicht ob ich dich falsch verstnaden habe.

Aber R gibt doch den Konvergenzradius an.
Nun liegen aber doch die Elemente aus A und B beide doch Garnicht auf dem Rand der Kreisscheibe.
Wobei wir lediglich doch hier nur vom pos. Rand ausgehen? Im negativen analog?

mfg.

16.11.2009, 21:38

Bakatan

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Es geht nicht um absolute sondern gleichmäßige Konvergenz.

Hier kann ich auch gerne das Beispiel vom Buch bringen. Den dazugehörigen Satz habe ich ja bereits abgetippt ( den Beweis tippe ich jetzt nicht ab, es sei denn jemand will ihn unbedingt sehen... ).

$\begin{eqnarray*} \text{BEMERKUNG: Für die volle Kreisscheibe }|z-z_0|<R~\text{liegt im allgemeinen keine gleichmäßige Konvergenz vor.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Wir wollen uns dieses für Potenzreihen typische Konvergenzverhalten anhand der geometrischen Reihe klar machen. Mit} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1-z}~\text{und }s_n(z)=\sum_{k=0}^nz^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{gilt für }|z|<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(z)-s_n(z)|=\left|\frac{z^{n+1}}{1-z}\right|\leq\frac{|z|^{n+1}}{1-|z|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Für reelle }z\text{ mit }0\leq z<1~\text{gilt dabei das Gleichheitszeichen. Damit haben wir für jedes feste }r~\text{mit }0<r<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{ |f(z)-s_n(z)|\bigg||z|\leq r\right\}=\frac{r^{n+1}}{1-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{also gleichmäßige Konvergenz für }|z|\leq r\text{. Für }r\to 1~\text{wird die Konvergenz immer schlechter.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Auf der offenen Einheitskreisscheibe }|z|<1~\text{ist }|f(z)-s_n(z)|~\text{sogar unbeschränkt.} \end{eqnarray*}$

edit: Kleinere Abtippfehler sind gut möglich. Ich hoffe aber, ich habe keine fabriziert.

21.11.2009, 15:55

Bakatan

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shameless bump is shameless unglücklich

Wenn es wirklich nicht lesbar ist kann ich versuchen, es neu zu schreiben. Das meiste ist aber eh ( hoffentlich richtig ) nur abgetippt.
Vielleicht habe ich auch nur irgendwas missinterpretiert, aber es wird doch explizit darauf hingewiesen, dass es nicht dasselbe ist...

21.11.2009, 16:14

LLCoolDave

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RE: Verständnis gleichm. Konv. Potenzreihen

Zitat:

Original von Bakatan
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in B\text{. Wir wählen }r:=\frac{R+x}{2}<R~\text{dann ist }x\in A \end{eqnarray*}$

Ohne jetzt auf den Zusammenhang zu Potenzreihen einzugehen, ist hier ein Missverständnis der Notation/Aussage zu erkennen, der hoffentlich die Verwirrung beim Rest auch beheben sollte.

$\begin{eqnarray*} w\leq r \text{ mit } r < R \end{eqnarray*}$ heißt: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} r < R \end{eqnarray*}$ so dass all deine w kleinergleich diesem r sind. Was du in deinem Beweis zeigst, ist dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} w<R \text{ ein } r \text{ gibt, sodass } w \leq r < R \end{eqnarray*}$ . Das stimmt auch, ist aber nicht das was du zeigen willst. Betrachte doch zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=[0,1) \text{ dann gilt: } \forall x \in A: x < 1 =: R \text{ aber es gilt auch: } \not\exists r<R: \forall x \in A: x \leq r < R \text{ (denn sup } A = 1 = R\text{)} \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 18:34

Bakatan

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RE: Verständnis gleichm. Konv. Potenzreihen

Zitat:

Original von LLCoolDave:
Ohne jetzt auf den Zusammenhang zu Potenzreihen einzugehen, ist hier ein Missverständnis der Notation/Aussage zu erkennen, der hoffentlich die Verwirrung beim Rest auch beheben sollte.

Ganz genau! Ich habe den Rest nur später als Zusatz hinzu gefügt, damit klar ist, weshalb dieses Problem auftaucht. Ursprünglich habe ich dieses Thema deshalb in Schulmathematik gepostet, da es wirklich nur um die Gleichheit der beiden Mengen geht, die offensichtlich nicht stimmen kann.

Zitat:

Original von Bakatan:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in B\text{. Wir wählen }r:=\frac{R+x}{2}<R~\text{dann ist }x\in A \end{eqnarray*}$

Was ich also prinzipiell zeige ist, dass es für jedes x ein solches r gibt, aber kein r, welches für alle x gilt ( ähnliche Vorstellung wie der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz? )?

Trotzdem suche ich immer noch den Fehler in meiner Schlussfolgerung.
Laut Satz gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in \{x|x\leq r<R\}=:A \end{eqnarray*}$ ( siehe hier auch die alternative Schreibweise aus dem Originalpost ) gleichmäßige Konvergenz. Da jedes Element aus $\begin{eqnarray*} B:=\{x|x<R\} \end{eqnarray*}$ allerdings wie bemerkt mit geeignetem r auch in A liegt ist $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ ( bis hierher muss meines Erachtens bereits ein Fehler sein ) und damit gilt gleichmäßige Konvergenz auch für B. Das kann aber nicht sein. Dafür hast du mir ja sogar bereits einen Gegenbeweis geliefert und das Buch ein Gegenbeispiel. Aber trotzdem: wo ist der Fehler in der Schlussfolgerung? Ich sehe es leider immer noch nicht.

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