Integral bzgl. d. Lebesguemaßes ausrechnen

15.11.2009, 14:21

Daniel1985

Integral bzgl. d. Lebesguemaßes ausrechnen

Hallo, Stecke mal wieder in einer Aufgabe fest.
Also ich soll zeigen, dass folgende Funktion Lebesgueintegrierbar ist auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ und das Integral berechnen.

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=e^{-nx}*sin(x) \end{eqnarray*}$

und zu zeigen wäre

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-nx}*sin(x) = \frac{1}{1+n^{2}} \end{eqnarray*}$

Dass sie Integrierbar ist habe ich nun damit erklärt, dass sie auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ keine Singularitäten besitzt, also existiert das Riemann integral, und das Lebesgueintegral stimmt mit dem Riemann Integral überein.

Jetzt habe ich versucht mit Partieller Integration zu arbeiten aber komme einfach nicht auf die Lösung verwirrt

Was mache ich denn bitte wieder falsch? Hat jemand vielleicht einen TIPP?

15.11.2009, 15:00

Daniel1985

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Alternativer Lösungsversuch von mir kommt sofort smile

15.11.2009, 15:04

Daniel1985

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So nochmal probiert.
Jetzt bekomme ich schonmal $\begin{eqnarray*} (n^{2}+1) \end{eqnarray*}$ im Nenner. Von der Lösung ist es aber noch Meilenweit entfernt.

Ist da jetzt ein fehler drin, oder ist der Ansatz kompletter quatsch. verwirrt

15.11.2009, 15:06

Daniel1985

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Moment, das ist doch richtig smile

Sorry für meine hektischen Beiträge. Wenn ich jetzt Die Integralgrenzen eintrage und N gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse kommt genau das raus.

LOL Hammer

Fragt sich nur, ob meine Argumentation wegen der Lebesgueintegrierbarkeit schlüssig ist. verwirrt

15.11.2009, 15:25

system-agent

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Zitat:

Original von Daniel1985

Fragt sich nur, ob meine Argumentation wegen der Lebesgueintegrierbarkeit schlüssig ist. verwirrt

Nein.
Nehme zb. die Funktion $\begin{eqnarray*} h: (0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ .
Sicher hat es keine Singularitäten etc etc aber das Riemannsche Integral
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}h(x)\dd x \end{eqnarray*}$ existiert nicht [divergent].

15.11.2009, 15:31

Daniel1985

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Hmm komisch, aber für mein Integral (nach Riemann-Art) kommt irgendwie genau das raus, was raus kommen soll.

Also gehe ich mal davon aus, dass meine Endgültige Lösung im Angang) quasi falsch ist? traurig

Bestimmt muss man das irgendwie mit dem Beppo Levi machen, aber strenggenommen haben wir ja keinen Limes Und erst Recht keine Summe/Integral die wir vertauschen können.

Na super, jetzt dachte ich schon ich hab meine erste Aufgabe ohne Hilfe gelöst unglücklich

15.11.2009, 15:55

system-agent

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Du weisst:
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist integrierbar
genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} |f_n| \end{eqnarray*}$ ist integrierbar.

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} |f_n| \end{eqnarray*}$ genau dann integrierbar, wenn es eine integrierbare, positive Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ so gibt, dass
$\begin{eqnarray*} |f_n|\leq g \end{eqnarray*}$ .

Also:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)|=\frac{|\sin(x)|}{|e^{nx}|}\leq\frac{1}{e^{nx}} \end{eqnarray*}$ .
Setze also $\begin{eqnarray*} g(x):=e^{-nx} \end{eqnarray*}$ und zeige, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{(0,\infty)}g=\int\limits_{0}^{\infty}g(x)\dd x<\infty \end{eqnarray*}$ .

15.11.2009, 17:11

Daniel1985

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Danke system-agent, jetzt habe auch ich endlich verstanden wie das geht ... und das will was heissen Gott

Der guten ordnung halber hier der kurze Beweis nochmal.
Die eigentliche Berechnung des Integrals kann ich von eben so übernehmen oder?

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