symmetrische differenz

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mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »
symmetrische differenz
Sei M eine Menge. Für A,B definiere die symmetrische Differenz A+B von A und B durch

Zeige, dass durch die symmetrische differenz eine verknüpfung auf P(M) definiert wird und dass (P(M), +) eine kommutative Gruppe ist.

was muss ich den machen um zu zeigen, dass P(M) eine verknüpfung ist?

für kommutative gruppe muss man doch zeigen:
-assoziativ
-neutrales element
-inverses existiert
-kommutativität

wie sieht den ein element aus P(M) aus?

ich weiß irgendiwe nicht wie ich anfangen soll
vieleicht mag mir ja wer helfen.

ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

P(M) ist die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen von M.

Naja für ne Verknüpfung musst du zeigen dass das Ergebnis wieder in P(M) liegt(klar!)

Und für abelsche Gruppe eben das was du aufgeführt hast.
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt ja dann für die verknüpfung, dass ich folgendes zeigen muss:
=>

aber wie zeige ich dass?
nehme ich jetzt ein element x aus P(M) und mache irgendwas damit, oder??????
und wie benutzte ich die symmetrische differenz dazu sinnvoll?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Verknüpfung wird hier mit + bezeichnet, nicht mit .

Zu zeigen ist also: Für zwei Teilmengen A und B von M ist auch A+B eine Teilmenge von M. Benutze jetzt die Definition von "+"
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

dann haben wir:

=>
...???

tut mir leid, ich weiß einfach nicht wie man hier vorgehen soll
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, deine Probleme fangen echt weit unten an.

Wenn du zwei Mengen A und B hast, die nur Elemente aus M enthalten, kann dann bzw. andere Elemente enthalten?
Kommen bei der Differenz weitere Elemente dazu?
 
 
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

nein, es kommen keine anderen elemente hinzu. es werden weniger.
alle elemente die in der vereinigung von A und B liegen außer denen, die in beiden teilmengen enthalten sind
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Also, da und gilt auch . Damit ist .

So einfach geht es.
Versuche dich zuerst einmal am neutralen Element und an den Inversen, das scheint momentan das einfachste zu sein
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

kann man fürs neutrale element schreiben:

weil und
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist 0 für eine Menge? (Ich weiß nicht ob du das richtige meinst aber bloß nicht das richtige Zeichen gefunden hast)
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

"0" sollte eigentlich das neutrale element der addition sein. wäre ein e fürs neutrale element vielleicht besser, bzw. wäre es dann richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es geht ja darum die "0" zu bestimmen. Du musst herausfinden für welche Menge die Eigenschaften der 0 gilt(0 ist in diesem Zusammenhang eben keine Zahl)
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist es wahrscheinlich die leere menge das neutrale element

und zum inversen:

=> Jede Teilmenge A ist invers zu sich selbst

hab ich diesmal recht? :-)

danke nochmal für die viele hilfe
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die leere Menge ist das neutrale Element!
Selbstinvers stimmt auch.

Kommutativ ist auch noch einfach, das schwere wird dann mit Assoziativ kommen Augenzwinkern
mademadiker Auf diesen Beitrag antworten »

nun zur kommutativität:


geht das?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du das zweite = schon kennst.
Einfacher wäre natürlich und gewesen.

Aber die Darstellung nach dem zweiten = könnte hilfreich für den Beweis der Assoziativität sein.
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bei der Assoziativität muss doch noch ein C hinzu, welches aber nicht in der Aufgabenstellung erwähnt wird oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber die Formulierung von dir lässt schließen dass du irgendetwas nicht ganz verstanden hast Big Laugh
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

scheinbar traurig aber lustig machen muss man sich doch nicht, oder?
verwirrt

Ich kenne assoziativ nur als: (a+b)+c = a+(b+c)
Aber damit bin ich ja scheinbar völlig falsch..
Aber bei nur a und b macht das doch keinen Sinn?!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das muss auch gar nicht in der Aufgabenstellung stehen. Dort müssen nicht mal A oder B vorkommen. Alles was dort stehen muss ist die Definition der Menge und der Verknüpfung.

Für assoziativ muss eben gelten dass für alle a,b,c das von dir geforderte gilt.
Die Variablennamen sind aber nicht fest, da könnte genauso gut d,e,f vorkommen die alle nicht in der Aufgabenstellung stehen.
Man könnte a auch fritz nennen oder so Augenzwinkern
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kiste,

das ich nicht an Namen klebe weiß ich selber. War vielleicht auch ungeschickt ausgedrückt.
Sag ich dann nun:

(a+b)+c = ((a u b) u c) \ ((a n b) n c)
= (a u b u c) \ ( a n b n c)
= (a \ b) u (a \ c) u (b\c)
= (b\a) u (c\ a) u (c\b)
= (b+c) + a

??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf das zweite = (was ja nur die Klammern weglässt) verstehe ich bei keinem anderem warum die Gleichheit gelten sollte
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

reicht es da schon, dass ich die Klammern nur neu setze? Wahrscheinlich ja nicht.

(a+b)+c = ((a u b) u c) \ ((a n b) n c)
= (a u b u c) \ ( a n b n c) =(a u (buc) \ (a n (bnc) = a + (b+c)

ich bekomm mit der Aufgabe echt noch dir krise.. unglücklich

Kiste, du hälst mich wahrscheinlich für total bescheuert, sorry
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Aufpassen. Das + ist so nicht definiert.
Es ist doch

Sieht erstmal sehr kompliziert aus. Vllt. wird es einfach durch (Die Gleichwertigkeit davon muss man aber noch beweisen)
AnE Auf diesen Beitrag antworten »



Aber wie bau ich darein noch das c?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch hier
AnE Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold, aber das würde glaube ich zu weit führen.
Ich habe es nun mit Kistes Hinweis versucht.
Vielen Dank euch beiden!!!!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Leopolds Link ist die Rechnung zu meinem Hinweis Augenzwinkern
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