Beweis Injektivität/Surjektivität

15.11.2009, 14:42

Smaartis

Beweis Injektivität/Surjektivität

Hallo,

ich habe folgende Fkt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{1} -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
x -> g(x)
g(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x²-4}{x-1} \end{eqnarray*}$ . Und ich soll jetzt die Injektivität und Surjektivität zeigen.

i) Injektivität:

$\begin{eqnarray*} x(1) \end{eqnarray*}$ = 0; g(0)= 4
$\begin{eqnarray*} x(2) \end{eqnarray*}$ =4; g(4)= 4

Somit habe ich gezeigt, dass die Fkt nicht injektiv ist.

ii)

Aber bei der Surjektivität steh ich nun an.

Wie zeige ich das? Muss ich da die inverse Fkt. machen?

Ich habs versucht und bin dann bei dieser Stelle stecken geblieben:

zuerst:
y= $\begin{eqnarray*} \frac{x²-4}{x-1} \end{eqnarray*}$

in weiterer Folge:
4-y = x(x-y)

Ich kann so x nie eindeutig ausdrücken. Heißt das, dass es keine Inverse Fkt. gibt? Was bedeutet das für die Fkt und wie kann ich nun die Surjektivität zeigen?

Welche Rolle spielt übrigens der Definitions- und Wertebereich?

------------

Außerdem würde ich gern wissen, worin der Unterschied zwischen diesen beiden ausdrücken liegt: $\begin{eqnarray*} \mathbb N ^{\mathbb R } und \mathbb R ^{\mathbb N } \end{eqnarray*}$

------------

Und drittens:
Aufgabe: Zeige, dass die Hintereinanderausführung zweier surjektiver Fkten wieder surjektiv ist.

Genügt es hier ein Beispiel zu bringen für zwei surjektive Fkten? Wie kann ich das allgemein zeigen?

-----------

Hoffe auf eine baldige Antwort smile

15.11.2009, 15:07

MLRS

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RE: Beweis Injektivität/Surjektivität

Zitat:

Original von Smaartis
Somit habe ich gezeigt, dass die Fkt nicht injektiv ist.

Zitat:

Original von Smaartis
in weiterer Folge:
4-y = x(x-y)

Zeig deine Rechenschritte

Zitat:

Original von Smaartis
Welche Rolle spielt übrigens der Definitions- und Wertebereich?

Ohne angegebenen Definitions- bzw. Wertebereich machen Aussagen über Injektivität bzw. Surjektivität absolut keinen Sinn!

Es ist zB.
$\begin{eqnarray*} f_1:\mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
weder injektiv noch surjektiv (Warum?)

allerdings ist
$\begin{eqnarray*} f_2:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
sogar bijektiv (injektiv UND surjektiv)

Zitat:

Original von SmaartisUnd drittens:
Aufgabe: Zeige, dass die Hintereinanderausführung zweier surjektiver Fkten wieder surjektiv ist.

Genügt es hier ein Beispiel zu bringen für zwei surjektive Fkten? Wie kann ich das allgemein zeigen?

Nein, 100 Beispiele reichen nicht für einen Beweis (1 Gegenbeispiel schon Augenzwinkern

)

Zum Beweis wendest du einfach die Definition an:

Sei f: A -> B, (f surjektiv) und g: B -> C (g surjektiv) gegeben. Sei weiterhin c ein beliebiges, aber fest gewähltes Element aus C.

Da g surjektiv ist, gibt es ein b aus B mit g(b) = c. Da aber auch f surjektiv ist, gibt es auch ein a aus A mit f(a) = b. Daraus folgt wegen

g(f(a)) = g(b) = c unmittelbar, dass h: A -> C mit h = g(f), also die Hintereinanderausführung zweier surjektiver Funktionen wieder surjektiv ist.

Grüße smile

15.11.2009, 15:31

Smaartis

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RE: Beweis Injektivität/Surjektivität
Meine Rechenschritte:

y= $\begin{eqnarray*} \frac{x²-4}{x-1} \end{eqnarray*}$

<==>
y(x-1)= x²-4

<==>
yx- y +4= x²

<==>
4-y=x²-yx

<==>
4-y=x(x-y)

Was bedeutet dies nun?

----------

Ok, ich versteh nun den Sinn des Werte- und Definitionsbereich. Da gehts nur darum, in welchem Intervall man sich die Fkt ansieht.

Diese Fkt y= $\begin{eqnarray*} \frac{x²-4}{x-1} \end{eqnarray*}$

sieht so aus: http://www.bilder-hochladen.net/files/d7i9-1-jpg-nb.html

wobei die senkrechte Gerade eine auf x=1 eine Asymptote ist.

Wenn ich mir nur den Graph ansehe, dann weiß ich, dass die Fkt auf jeden Fall surjektiv ist, da jeder y-Wert erreicht wird.

Wie zeige ich das mathematisch?

------------

Und darauf habe ich noch keine Antwort:

"Außerdem würde ich gern wissen, worin der Unterschied zwischen diesen beiden ausdrücken liegt: $\begin{eqnarray*} \mathbb N ^{\mathbb R } und \mathbb R ^{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ "

Wenn $\begin{eqnarray*} A=\mathbb N ^{\mathbb R } \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B= \mathbb R ^{\mathbb N } \end{eqnarray*}$

Und ich soll, falls möglich, je ein Element von A und B angeben. Wie finde ich so ein Element?

15.11.2009, 15:40

MLRS

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RE: Beweis Injektivität/Surjektivität
$\begin{eqnarray*} 4-y=x(x-y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-xy+(y-4) \end{eqnarray*}$

Nach x auflösen...wenn es für alle y mind. ein x gibt, ist die Funktion surjektiv

15.11.2009, 17:15

Smaartis

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RE: Beweis Injektivität/Surjektivität
Ich hab da noch eine Frage:

Wenn ich weiß, dass die Funktion f von B nach C surjektiv ist, zwei weitere Funktionen h,g: A -> B gegeben sind, kann ich daraus schließen, dass wenn "g nach f" = "h nach f" ist, dass h=g ist?

Wieso?

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Beweis Injektivität/Surjektivität

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