Konvergenz komplexer Folgen

15.11.2009, 14:59

DOZ ZOLE

Konvergenz komplexer Folgen

Hallo ich soll diese Folgen auf konvergenz untersuchen:

a) $\begin{eqnarray*} (i^n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \left(\left(\frac{i}{1+i} \right)^n \right)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen Gedanken dazu:

a) wie man sich leicht überlegen kann nimmt diese folge nur die wertemenge $\begin{eqnarray*} \left\{1,-1,i,-i\right\} \end{eqnarray*}$ an. da diese alle auf dem einheitskreis um den ursprung der gauß´schen zahlenebene liegen würde ich sagen das diese folge divergent ist.

b) diese folge hab ich erstmal in die exponentialform gebracht:

$\begin{eqnarray*} \left(\left(\frac{i}{1+i} \right)^n \right)_{n \in \mathbb N} =\left(\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^ne^{in\frac{\pi}{4}}\right)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich mir überlegt das diese folge gegen 0 konvergieren müsste da ja der betrag diese komplexen zahlen für größer werdene n gegen null wandert.
mein problem ist hier nun das ich nicht weiß wie ich das mathematisch richtig aufschreiben kann.

ich hoffe auf tipps und kritik.

MfG
DOZ ZOLE

15.11.2009, 17:57

DOZ ZOLE

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mir is gerade der gedanke gekommen das wenn man bei a) $\begin{eqnarray*} \epsilon>1 \end{eqnarray*}$ wählt könnte man doch auch von einer art konvergenz sprechen oder?

15.11.2009, 18:03

heinzelotto

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
mir is gerade der gedanke gekommen das wenn man bei a) $\begin{eqnarray*} \epsilon>1 \end{eqnarray*}$ wählt könnte man doch auch von einer art konvergenz sprechen oder?

Die Konvergenz muss natürlich für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gelten. Egal, wie klein dein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, du findest ein N, so dass $\begin{eqnarray*} a_n<\epsilon\ \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ . Und so löst du auch b), zu gegebenem epsilon findest du ein N, so dass ab diesem N alle folgenden werte weniger als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ von 0 entfernt sind.

15.11.2009, 18:07

klarsoweit

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Bei b) kannst du verwenden (falls ihr das schon hattet), daß eine Folge z_n genau dann gegen Null konvergiert, wenn auch der Betrag von z_n gegen Null konvergiert.

16.11.2009, 19:27

DOZ ZOLE

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könnte ich nicht für a) auch einfach zeigen das für ein $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon<1 \end{eqnarray*}$ kein element der folge in epsilon liegt und sie daher nicht konvergent sein kann?

16.11.2009, 20:11

DOZ ZOLE

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hab das jetzt einfach mal gemacht. a ist hier mein angenommen vorhandener grenzwert:

$\begin{eqnarray*} |i^n-a|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a^2}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2<-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a<\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

und das is doch jetzt ein widerspruch weil die ordnungsrelation für komplexe zahlen nicht definiert sind. daher kann kein a gefunden werden so das die ungleichung $\begin{eqnarray*} a<\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$ wahr ist.

oder seh ich das falsch?

17.11.2009, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
hab das jetzt einfach mal gemacht. a ist hier mein angenommen vorhandener grenzwert:

$\begin{eqnarray*} |i^n-a|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a^2}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist einfach nur Unfug. Wie hast du denn auf der linken Seite umgeformt? verwirrt

17.11.2009, 10:19

DOZ ZOLE

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meine idee war folgende:
da $\begin{eqnarray*} i^n=\left\{ 1,-1,i,-i\right\} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} |i^n|=1 \end{eqnarray*}$ daher die umformung.

17.11.2009, 10:31

klarsoweit

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Aber man kann doch nicht wüst was hinschreiben und dann sagen "das ist das gleiche". Setz doch nur mal n=2 und a=-1 ein.

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