Rechenregeln für den Betrag

15.11.2009, 16:26	Martin24	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln für den Betrag Hallo, habe folgende Aufgabenstellung: Seien $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie folgende Rechenregeln für den Betrag: a) $\begin{eqnarray} \|ab\|=\|a\|\|b\|, \|\frac{a}{b}\|=\frac{\|a\|}{\|b\|} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \|\|a\|-\|b\|\|\leq \|a+b\| \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \|\|a\|-\|b\|\|\leq \|a-b\|\leq \|a\|+\|b\| \end{eqnarray}$ Mein Ansatz wäre jetzt normal die einzelen Fälle jeweils durchzugehen. Also z.b $\begin{eqnarray} a\leq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\leq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\leq b \end{eqnarray}$ usw... Aber dafür muss es doch bestimmt auch elegantere Lösungen geben oder?
16.11.2009, 17:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
a) kann mit $\begin{eqnarray} \|a\|^2=a^2 \end{eqnarray}$ (falls noch nicht geschehen mit nur 2 Fallunterscheidungen zu beweisen) auf $\begin{eqnarray} (ab)^2=a^2b^2 \end{eqnarray}$ zurückgeführt werden. Das widerum ist entweder schon im Werkzeugkasten oder folgt leicht aus den Körperaxiomen. Genauso hilft bei b) und c) auch Quadrieren. Man zeigt also nicht die Ungleichung selbst, sondern erhebt sie ins Quadrat und zeigt dann diese.

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