Hessesche Nromalenform, Parameterform mit 3 Punkten aufstellen

15.11.2009, 16:56	kirillis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Nromalenform, Parameterform mit 3 Punkten aufstellen hallo, ich habe die aufgabe: Bestimmen Sie die Parameterform und die Hessesche Normalform der Ebene E durch die Punkte A =(1; 2; 0), B =(5; 2; 0) und C =( 3; 2; 4) . so gelöst: parameterform: _______________ E: r = r0 + x * a + y * b r0= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ; a = BA = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ; b= CA = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das dann halt einsetzen. hessesche normalform: _________________________ da habe ich eignetlich die komplette umrechnung aus dem mathe buch übernommen. da steht: r * n = (griechischer buchstbae ro) weiter sthet da: will man die parameterform einer ebene in die hessesche normalform umwandel, so berechnet man n und (ro) so: c = $\begin{eqnarray} \frac{a X b}{\| a X b \| } , \| c\times r0 \| \end{eqnarray}$ = (ro) und n = c falls c * r0 > 0, -c falls c * r0 < 0 ich habe dann folgendes rausbekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \frac{1}{48} \begin{pmatrix} -16 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix} = 0,75 \end{eqnarray}$ ist das richtig so? ich rechne sowas zum erstenmal und irgendiwe habe ich das gefühl, da was falsch gemacht zu haben wenn ich nach hessesche normalform suche finde ich immer andere formeln. zB ( a - b ) * n = 0 (alles vektoren) .. wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
15.11.2009, 18:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hessesche Nromalenform, Parameterform mit 3 Punkten aufstellen da ich als ebene in kooform erhalte - das folgt sofort aus den 3 punkten ohne rechnung - $\begin{eqnarray} y = 2 \end{eqnarray}$ kann ich (auch) den rest nicht nachvollziehen, dein gefühl könnte also besser sein als deine rechnung wo hast du denn das/die x/e verloren ich sehe halt nirgendwo eine ebene HNF: $\begin{eqnarray} \frac{ax+by+cz+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0 \end{eqnarray}$ oder vektoriell mit dem normierten (!) normalenvektor $\begin{eqnarray} (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}_0=0 \end{eqnarray}$
15.11.2009, 18:57	kirillis	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe als parameterform für die ebene dieses ergebis: E: r = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und laut buch kann man dann die HNF [im buch: r * n = (ro)] so erhalten: n = $\begin{eqnarray} \frac{a X b}{\| a X b \| } \end{eqnarray}$ und (ro) = $\begin{eqnarray} \| n r(null) \| \end{eqnarray*}$ r(null) ist der aufpunkt also A. der ist ja gegeben. a und b habe ich dann aus parameterform genommen, also a = [4, -4, 0] und b = [-4, 0 , 4]. naja, ich versuche mich nochmal an der aufgabe mit der formle die du mit gegeben hast. aber die parameterform müßte doch richtig sein, oder?
15.11.2009, 19:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit deiner angabe A =(1; 2; 0), B =(5; 2; 0) und C =( 3; 2; 4) habe ich: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}=(4,0,0)^T\sim (1,0,0)^T \end{eqnarray}$ und auch dein 2. vektor stimmt nicht
15.11.2009, 19:26	kirillis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, stimmt. da ist aber was beim kopiren der aufgabe falsch gelaufen. die punkte sind : A =(1; 2; 0), B =(5; -2; 0) und C =(- 3; 2; 4) . ich glaube, ich bin auf dem richtigen weg. für alle , die ähnliche aufgaben haben, hier kann man auch gut zum thema recherchieren: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/parametergleichung-koordinatengleichung.html ich poste später nochma meine ergebnisse.
15.11.2009, 19:29	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
dann rechne weiter,
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15.11.2009, 20:08	kirillis	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nochmal von vorne: gegeben: A (1,2,0) ; B (5,-2,0) und C (-3,2,4) parameterschreibweise: E : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix}4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ koordinatenschreibweise: x + 0,5 y + z = 1 HNF: E: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1,5} \begin{pmatrix}1 \\ 0,5 \\ 1 \end{pmatrix} \left(\vec{x}- \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

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