Lipschitzstetigkeit (Beweis im R^n)

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stereo Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitzstetigkeit (Beweis im R^n)
Hallo,

ich versuche gerade folgendes zu beweisen:

Sei ein Gebiet, eine kompakte Menge und lokal Lipschitzstetig. Zeigen Sie, dass f auf K global Lipschitzstetig ist.

Also ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge. K ist in G beschränkt und abgeschlossen.

Das heißt ich finde in G immer einen Kugel mit dem Radius r um , sodass gilt:



Ich weiß noch nicht ob mir das jetzt großartig weiter hilft, weil ich nicht weiß wo ich so wirklich mit dem Beweis hin will.

Fangen wir mit der Definition an:



Wobei L nicht global definiert ist, sondern nur lokal.

Folgende Überlegungen habe ich gemacht, kann sie aber nicht mathematisch ausdrücken:

Die Funktion f ist lipschitz-stetig, somit ist f auch stetig. Sei abbildet, so ist diese auch stetig (gilt das zu beweisen? ).

Da K kompakt und zusammenhängend ist (da G Gebiet, muss ich das auch beweisen? smile ) und g stetig folgt folgender Satz:

Steige Funktionen auf Kompakta nehmen ihr Maximum und Minimum an.

Damit sollte man dann L bestimmen können. Ich hoffe ihr könnt das nachvollziehen was ich geschrieben habe und mir bisschen unter die Arme greifen.

Danke schonmal smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzstetigkeit (Beweis im R^n)
Hallo!

Du findest sicher zu jedem eine Kugel mit von abhängigem Radius, in der Lipschitz-stetig ist mit Konstante .

Was passiert jetzt, wenn du die Vereinigung über all diese Kugeln bildest?

Grüße Abakus smile
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich weiß jetzt grad auf Anhieb nicht worauf du hinaus willst.

Sind denn meine Überlegungen falsch oder führen diese gar nicht zum Ziel?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Hm, ich weiß jetzt grad auf Anhieb nicht worauf du hinaus willst.

Sind denn meine Überlegungen falsch oder führen diese gar nicht zum Ziel?


K muss nicht zusammenhängend sein, wie du folgerst: stelle dir K zB zweipunktig oder aus separaten, abgeschlossenen, kleinen Kreisscheiben vor.

Ansonsten hast du dir viel überlegt, aber damit kommst du so ohne weiteres nicht auf dein globales L.

Stelle dir mal "Igel-" oder "Nadelkissenfunktionen" vor: viele steile Spitzen, alles stetig, und beschränkt. Die Spitzen können wegen ihrer Steilheit dann zu "sehr" großen lokalen Lipschitz-Konstanten führen... so einfach ist es also nicht.

Zitat:
Du findest sicher zu jedem eine Kugel mit von abhängigem Radius, in der Lipschitz-stetig ist mit Konstante .

Was passiert jetzt, wenn du die Vereinigung über all diese Kugeln bildest?


Also, wie sieht denn die Beziehung zwischen K und der obigen Vereinigung aus?

Grüße Abakus smile
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. K muss kein Gebiet sein smile

Naja gut, ich vereinige die ganzen Kugeln und nehme einfach das Maxium der Lipschitzkonstanten als globales L.

Reicht das denn schon? Ich denk mal ich muss noch mit reinbringen, dass K kompakt ist, denn wäre K offen finde ich ja überabzählbare Kugeln.

Wars das hier schon? smile

Vielen Dank für deine Hilfe
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Naja gut, ich vereinige die ganzen Kugeln und nehme einfach das Maxium der Lipschitzkonstanten als globales L.


Du müsstest zeigen, dass es existiert.

Zitat:
Ich denk mal ich muss noch mit reinbringen, dass K kompakt ist, denn wäre K offen finde ich ja überabzählbare Kugeln.


Die Kugelanzahl ist auch so i.A. erstmal überabzählbar; und ja, Voraussetzungen einer Aufgabe werden meist irgendwo gebraucht.

Das Zauberwort, was du brauchst, heißt Überdeckung. Sagt dir das was?

Grüße Abakus smile
 
 
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ganz Dunkel in Analysis 2. Da müsste ich erstmal nachlesen wie das zusammenhing.

Und Existenzbeweise finde ich als Physiker auch nicht so dolle smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe hier: kompakte Menge (Wiki).

Die Überdeckungseigenschaft ist die eigentliche Definition der Eigenschaft Kompaktheit.

Grüße Abakus smile
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche ich es mal smile

Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann kompakt, gdw wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.

Überdeckung: Ein System {Ui} von Mengen ist eine Überdeckung der Menge M, falls ihre Vereinigung die Menge M enthält. Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung {Ui}, in der jedes Ui eine offene Menge ist.

Die Kugeln sind eine offene Überdeckung der Menge K. Da K kompakt ist, hat jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Dass heißt es gibt endlich viele Lipschitzkonstanten und wenn ich zu der Überdeckung eine maximale Lipschitzkonstante finde (da endlich), dann finde ich auch zu der Menge K eine Lipschitzkonstante, welche global ist.

Stimmt das so?

Wie gehe ich den Beweis zur Existenz an?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus

Du müsstest zeigen, dass es existiert.



Also das sollte ich doch jetzt auch gezeigt haben. Da es endlich viele lokale Konstanten gibt, gibt es auch ein Maxium.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, einverstanden Freude . Die einzelnen Kugeln hast du wegen der Voraussetzung der lokalen L-Stetigkeit.

Allgemein gesagt, hast du hier eine Art lokal-global Prinzip kennengelernt, diese Schlußweise klappt auch noch für andere lokale Eigenschaften.

Grüße Abakus smile
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