gleichverteilte Zufallsvariable

15.11.2009, 18:44

Romaxx

gleichverteilte Zufallsvariable

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

a) Ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig, so ist $\begin{eqnarray*} U = F(X) \end{eqnarray*}$ eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 1] \end{eqnarray*}$ gleichverteilte Zufallsvariable.

Ich muss hier ganz ehrlich sagen, dass ich keinen blassen Schimmer hab. Wir haben in unserem Skript zwar Zufallsvariablen definiert, aber nicht was eine gleichverteilte Zufallsvariable ist.

Verstehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} F=P(X^{-1}) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Urbildraum von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U : ([0,1],\mathcal B, P)\to ([0,1],\mathcal B) \end{eqnarray*}$ ist?

Fehlt denn bei der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann nicht, das es auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist?

Vielen danke für die Hilfe.

Gruß

15.11.2009, 19:20

Lord Pünktchen

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RE: gleichverteilte Zufallsvariable
Sei $\begin{eqnarray*} X: (\Omega, \mathcal F) -> (\Omega', \mathcal F') \end{eqnarray*}$ eine ZVe.

Dann ist die Verteilungsfunktion von X definiert als Abbildung
$\begin{eqnarray*} F_X : \mathcal F' -> [0,1] \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} F_X(A) = P\circ X^{-1}(A) = P(X^{-1}(A)) \end{eqnarray*}$

Das ist alles soweit korrekt.

Und du hast recht, normalerweise wird die Gleichverteilung auf diskreten Räumen oder mit dem Lebesguemaß definiert.

So wie sich mir die Aufgabenstellung darlegt, wurde es schlicht vergessen.
Solange Du nicht fragen kannst würde ich also einfach davon ausgehen, dass
$\begin{eqnarray*} (\Omega', \mathcal F') = ([0,1], \mathcal B) \end{eqnarray*}$

Edit: Latex muss gelernt sein und:
Wäre X keine reele ZVe, dann würde die stetigkeit keinen Sinn ergeben, da auf Wahrscheinlichkeitsräumen im allgemeinen keine Topologie definiert ist.

15.11.2009, 19:45

kiste

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Hallo,

ich habe die Aufgabe zwar auch noch nicht gelöst, aber meiner Meinung nach ist mit F(X) die Komposition F°X gemeint. Das Bild dieser Komposition ist natürlich in [0,1] da F eine Verteilungsfunktion ist.

Laut Wikipedia ist eine gleichverteilte ZV auf [0,1] eine die die Verteilungsfunktion F(x) = x für x in [0,1], F(x) = 1 für x>1, F(x) = 0 für x<0 hat.

So just my 2 cents, freue mich natürlich auch wenn jemand die Aufgabe löst Big Laugh

15.11.2009, 21:07

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Es geht ja im wesentlichen um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(F(X) \leq t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Sei nun eines dieser $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Da $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig ist, existiert nach Zwischenwertsatz ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(x) = t \end{eqnarray*}$ bzw. sogar dann

$\begin{eqnarray*} x^* := \sup\{ x\in \mathbb{R} \bigm| F(x) = t \} \stackrel{!}{=} \sup\{ x\in \mathbb{R} \bigm| F(x) \leq t \} \end{eqnarray*}$ .

Müsste eigentlich klar sein, wie es weitergeht. Die Restfälle $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ sollten anschließend auch keine unüberwindliche Hürde darstellen.

15.11.2009, 22:12

Romaxx

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Aufgrund der Montonie (steigend) ist x*=t.

Somit erhält man mit den anderen Fällen die Gleichverteilung?!

Gruß

16.11.2009, 00:15

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Zitat:

Original von Romaxx
Aufgrund der Montonie (steigend) ist x*=t.

Wie kommst du denn auf die Idee??? Nein, bei allgemeinem stetigen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist das i.a. falsch. unglücklich

Bei streng monoton wachsenden stetigem $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hätte ich einfach $\begin{eqnarray*} x^* = F^{-1}(t) \end{eqnarray*}$ sagen können, aber die bloße Voraussetzung "F stetige Verteilungsfunktion" gibt diese strenge Monotonie nicht her - es kann durchaus Konstantheitsintervalle in $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ geben, nehmen wir etwa die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \sim U([-1,1] \cup [2,3]) \end{eqnarray*}$ , das wäre

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x \leq -1 \\ \frac{x+1}{3} & \;\mbox{für}\; -1 < x \leq 1 \\ \frac{2}{3} & \;\mbox{für}\; 1 < x \leq 2 \\ \frac{x}{3} & \;\mbox{für}\; 2 < x \leq 3 \\ 1 & \;\mbox{für}\; x > 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} t = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ wäre gemäß meiner obigen Festlegung dann $\begin{eqnarray*} x^* = 2 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2009, 19:20

Romaxx

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Hallo Arthur Dent,

war blödsinn.

Auf was willst du bei deinem Ansatz hinaus? Bisher weiß ich von gleichwerteilter Zufallsvariable gerade das, was kiste aus Wikipedia hat.

Willst du damit das dort erwähnte zeigen, aslo das die Verteilungsfunktion von U F(x)=x ist oder läuft das auf etwas neues hinaus, das ich noch nicht kenne?

Gruß

16.11.2009, 19:27

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Worauf ich hinaus will? Komische Frage, denn mit obigen Bezeichnungen ist doch

$\begin{eqnarray*} P(F(X) \leq t) = P(X\leq x^*) = F(x^*) = t \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} t\in (0,1) \end{eqnarray*}$ , also das was nachzuweisen war.

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