wann konvergiert diese Folge?

Neue Frage »

15.11.2009, 18:47

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

wann konvergiert diese Folge?

Guten Abend zusammen Wink

Hab große Probleme mit einer Aufgabe zur Konvergenz einer Folge. traurig

es ist $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$
Die Folge ist nun rekursiv defineiert durch
$\begin{eqnarray*} a_1 := a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} := \sqrt{3+2a_n} \end{eqnarray*}$

man soll jetzt feststellen für welche a die Folge konvergiert und dann den Grenzwert angeben, bzw. bestimmen

ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, was ich da machen muss. unglücklich

ich bin somit für jeden Ansatz dankbar Augenzwinkern

LG Susi

15.11.2009, 19:48

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von suse85

es ist $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$
Die Folge ist nun rekursiv defineiert durch
$\begin{eqnarray*} a_1 := a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} := \sqrt{3+2a_n} \end{eqnarray*}$

man soll jetzt feststellen für welche a die Folge konvergiert und dann den Grenzwert angeben, bzw. bestimmen

LG Susi smile

Hi Susi!

Gehen wir erst einmal davon aus, das die Folge konvergiert und bestimmen mal den GW.

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=b \end{eqnarray*}$ gilt für den GW:

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{3+2b}\rightarrow a^2-2a-3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn der GW existiert ist er eine der beiden Lsgen der obigen quadratischen Gleichung. Da b>0 sein muß (warum?) ist auch klar welche Lsg in Frage kommt.

Gut als Konvergenzkriterium kommt nur das Monotoniekriterium in Frage. zZ ist Monotonie und Beschränktheit deiner Folge. Wenn du nun in Abhängigkeit von a zeigen kannst, dass

1) $\begin{eqnarray*} (a_n)<3 \end{eqnarray*}$ und monoton wachsend ist, ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ für 0<a<? konvergent

2) für $\begin{eqnarray*} a\ge ? \end{eqnarray*}$ kannst du hoffen, das die Folge monoton fallend ist
dann ist sie beschränkt und dann auch konvergent. Ist die Folge jedoch monoton wachsend, so ist sie divergent (warum?).

mFg nane

15.11.2009, 20:24

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von nane
Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=b \end{eqnarray*}$ gilt für den GW:

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{3+2b}\rightarrow a^2-2a-3=0 \end{eqnarray*}$

warum gilt das?, woran kann ich das sehen?

Zitat:

Original von nane
Wenn der GW existiert ist er eine der beiden Lsgen der obigen quadratischen Gleichung. Da b>0 sein muß (warum?) ist auch klar welche Lsg in Frage kommt.

b muss > 0 sein, da a >0 ?

LG

16.11.2009, 08:33

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von suse85

Zitat:

warum gilt das?, woran kann ich das sehen?

Sehe gerade dass iuch zwischen den Variablen sprang. Es muss natürlich

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{3+2b}\rightarrow b^2-2b-3=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nane
Wenn der GW existiert ist er eine der beiden Lsgen der obigen quadratischen Gleichung. Da b>0 sein muß (warum?) ist auch klar welche Lsg in Frage kommt.

b muss > 0 sein, da a >0 ?

Und hier ist $\begin{eqnarray*} b\ge0 \end{eqnarray*}$ die leichter begründbare Aussage, da $\begin{eqnarray*} (n\in\mathbb{N}):a_n>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Alle Klarheiten beseitigt?
mFg nane

16.11.2009, 10:48

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von nane

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=b \end{eqnarray*}$ gilt für den GW:

aber warum gilt das?

ist das ein bestimmter satz? oder ist das eine folgerung aus den bedingungen?

hab das noch nie gesehn....

der Rest ist mir soweit klar Freude

16.11.2009, 10:52

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von suse85

Zitat:

Original von nane

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=b \end{eqnarray*}$ gilt für den GW:

aber warum gilt das?

ist das ein bestimmter satz? oder ist das eine folgerung aus den bedingungen?

Das gilt wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes konvergenter Folgen.

mFg nane

16.11.2009, 10:53

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?
Nun ja. Wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen b konvergiert, dann logischerweise auch die Folge $\begin{eqnarray*} b_n := a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis ist im Grunde ein Einzeiler. Augenzwinkern

16.11.2009, 10:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Reihe mit Vollständiger Indution

D.h., wesentlich für diese Fixpunkteigenschaft ist vor allem auch die Stetigkeit der die Rekursion definierenden Transformation $\begin{eqnarray*} T(x) = \sqrt{3+2x} \end{eqnarray*}$ , was gern unter den Tisch fällt. Augenzwinkern

16.11.2009, 11:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von nane
Das gilt wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes konvergenter Folgen.

Hmm. Ich weiß nicht, ob das der passende Satz ist.

Rein formal sind die Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n := a_{n+1} \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Folgen. Worum es hier geht, daß aus der Konvergenz der Folge a_n auch die Konvergenz der Folge b_n mit gleichem Grenzwert folgt.

16.11.2009, 11:25

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber ich versteh nur noch Bahnhof^^

ich kann das mit b nachvollziehen, dass dann b=3 ist, allerdings weiß ich immer noch nicht, wie man darauf kommt, bzw. warum man einfach die Gleichung umformen kann um auch den Grenzwert zu kommen...

LG Susi

16.11.2009, 12:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?
Jetzt haben wir uns doch schon lange darüber unterhalten, daß die Folgen a_n und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ den gleichen Grenzwert b haben.

Also ist $\begin{eqnarray*} b = \lim_{n \to \infty}~a_{n+1} = \lim_{n \to \infty}~\sqrt{3+2a_n} = \sqrt{\lim_{n \to \infty}~(3+2a_n)} = \sqrt{3+2b} \end{eqnarray*}$

Daß man den Limes unter die Wurzel ziehen darf, liegt an der Stetigkeit der Wurzel.

16.11.2009, 12:15

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

achso und deswegen ist dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n = b \end{eqnarray*}$ ?
deswegen kann man das dann unter der wurzel ersetzen?

LG

16.11.2009, 12:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von suse85
achso und deswegen ist dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n = b \end{eqnarray*}$ ?

Nein, das Pferd wurde anders gesattelt.

Wir nehmen an, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n = b \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_{n+1} = b \end{eqnarray*}$ . Und dann folgt die Gleichungskette aus meinem vorigen Beitrag.

16.11.2009, 13:15

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mein ich ja, aber man ersetzt ja unter der klammer das $\begin{eqnarray*} 2a_n \text{durch} 2b \end{eqnarray*}$ oder?

16.11.2009, 13:51

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wann konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von nane
Das gilt wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes konvergenter Folgen.

Hmm. Ich weiß nicht, ob das der passende Satz ist.

Nun ich dachte daran $\begin{eqnarray*} (a_{n+1}) \end{eqnarray*}$ als Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ zu interpretieren und dann machte die Eindeutigkeit doch Sinn

mFg nane

16.11.2009, 13:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von suse85
ja das mein ich ja, aber man ersetzt ja unter der klammer das $\begin{eqnarray*} 2a_n \text{durch} 2b \end{eqnarray*}$ oder?

Nein, man ersetzt das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(2a_n) \end{eqnarray*}$ durch 2b.

16.11.2009, 13:53

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von suse85
ja das mein ich ja, aber man ersetzt ja unter der klammer das $\begin{eqnarray*} 2a_n \text{durch} 2b \end{eqnarray*}$ oder?

Nein das ist kein willkürliches ersetzen, sondern die Anwendung uA von Grenzwertsätzen. Die Erklärungen warum du was darfst hat dir klarsoweit ja dazugeschrieben.

mFg nane

16.11.2009, 16:09

suse85

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, bis jetzt habe ich alles soweit nachvollzogen.

meinte auch nicht dass das 2an willkürlich ersetzt wird sondern wegen dem GW b für an mit b ersetzt wird.

dann kann man ja b= 3 bzw. b=-1 ausrechnen, wobei -1 wegfällt, da <0

so dann weiter muss ich ja noch zeigen, dass die folge überhaupt konvergent ist, richtig?

so nane hat jetzt gesagt ich muss nun zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (a_n)<3 \end{eqnarray*}$ und monoton wachsend ist, und was dann $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ für 0<a< ist?
dann sei die folge konvergent.

wie genau zeige ich denn bei so einer folge, dass sie wachsend oder fallend ist, wenn ich ja $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gar nich gegeben hab...
oder sehe ich nur nicht wie sie gegebn ist? unglücklich

16.11.2009, 18:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von suse85
so nane hat jetzt gesagt ich muss nun zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (a_n)<3 \end{eqnarray*}$ und monoton wachsend ist, und was dann $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ für 0<a< ist?
dann sei die folge konvergent.

Du mußt zeigen, daß für a < 3 auch a_n < 3 ist für alle n aus N.
Und dann mußt du zeigen, daß die Folge monoton wächst.

Zitat:

Original von suse85
wie genau zeige ich denn bei so einer folge, dass sie wachsend oder fallend ist, wenn ich ja $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gar nich gegeben hab...
oder sehe ich nur nicht wie sie gegebn ist? unglücklich

Du hast aber eine implizite Definition der Folge. Meistens zeigt man die Monotonie mit vollständiger Induktion.

Neue Frage »

Antworten »

wann konvergiert diese Folge?

Verwandte Themen