Hauptkriterium für Summierbarkeit

15.11.2009, 17:54

Felix

Hauptkriterium für Summierbarkeit

Hallo,

Ich hoffe ihr könnt mir helfen eine kleine Unklarheit zu klären.

Es geht um den Beweisteil:

$\begin{eqnarray*} (a_i)_{i \in I} \text {summierbar} \Rightarrow \{a_J := \sum_{j\in J}~a_j : J \text {ist endliche Teilmenge von } I \} \text {ist beschränkt} \end{eqnarray*}$

Sei s die Summe der Familie. Es gibt eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ so, dass gilt $\begin{eqnarray*} \mid s - a_{J} \mid < 1 \end{eqnarray*}$ für alle endlichen Obermengen J von $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ .

Es gilt für alle endlichen Teilmengen K von I die Abschätzung :

$\begin{eqnarray*} {\mid a \mid}_K \leq {\mid a \mid}_{K \cup I_0} < 1 + \mid s \mid \end{eqnarray*}$

Könnt ihr einen Fehler hierbei erkennen ? Der Beweis im Königsberger ist nämlich deutlich umständlicher. z.B. wird zuvor gezeigt, dass es reicht die Aussage für reele Familien zu beweisen. Ist das den nötig ?

lg

15.11.2009, 19:25

Abakus

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RE: Hauptkriterium für Summierbarkeit
Hallo!

Ich muss erstmal zurückfragen, was heißt genau summierbar hier?

Grüße Abakus smile

15.11.2009, 20:07

Felix

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Eine Familie $\begin{eqnarray*} (a_i)_I \end{eqnarray*}$ ist summierbar, wenn es ein s gibt so, dass zu jedem Epsilon eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} I_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ der Indexmenge I existiert mit:
$\begin{eqnarray*} \mid a_J - s \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle endlichen Obermengen J von $\begin{eqnarray*} I_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Die Elemente der Familie sind hierbei komplexe Zahlen.

16.11.2009, 19:41

Abakus

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RE: Hauptkriterium für Summierbarkeit

Zitat:

Original von Felix
Es gilt für alle endlichen Teilmengen K von I die Abschätzung :

$\begin{eqnarray*} {\mid a \mid}_K \leq {\mid a \mid}_{K \cup I_0} < 1 + \mid s \mid \end{eqnarray*}$

Summierbar scheint ja eine knifflige Eigenschaft zu sein. Gibt es da einen Zusammenhang mit Reihensummen oder in welchem Zusammenhang kommt das vor?

Ich sehe deine zweite Abschätzung nicht ohne weiteres, wieso gilt die? Du hast die Summierbarkeits-Eigenschaft ja nicht für die absoluten Beträge?

Grüße Abakus smile

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