Satz von Gauß

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pressure Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß
Ich soll an Hand eines Beispieles, die Richtigkeit des Gaußschen Satzes:



zeigen.

ist das Volumen, welches von der Oberfläche eingeschlossen wird.ist der Normalenvektor der Oberfläche. Das Vektorfeld und das Volumen sind gegeben durch:





Ist es nun richtig, wenn ich wie folgt rechne ?









Irgendwie scheint mir das resultierende Integral etwas zu komplex...

Zum Volumenintegral:




pressure Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand kann, oder will mir helfen ?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Generell würde ich bei der Sache einen Übergang zu Zylinderkoordinaten empfehlen.

Dein Normalenvektor müsste so passen, Divergenz stimmt auch.

Denk aber nochmal über einen Koordinatensystemwechsel nach, dann berechnet sich auch das Volumen leichter.
pressure Auf diesen Beitrag antworten »

Das es mit Zylinderkoordinaten wahrscheinlich einfacher ist, ist mir klar. Leider, versteh ich aber von Zylinderkoordinaten noch weniger als von diesem Oberflächen Integral. Letztlich sollte die Aufgabe doch auch mit kartesischen Koordinaten zu lösen sein. Hab ich bisher, denn irgendeinen Fehler gemacht ?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pressure
Das es mit Zylinderkoordinaten wahrscheinlich einfacher ist, ist mir klar. Leider, versteh ich aber von Zylinderkoordinaten noch weniger als von diesem Oberflächen Integral. Letztlich sollte die Aufgabe doch auch mit kartesischen Koordinaten zu lösen sein. Hab ich bisher, denn irgendeinen Fehler gemacht ?


Deine Argumentation ist doch echt nicht schlüssig. Wenn dir das doch alles klar ist, dann solltest du auch diesen Weg einschlagen. Dann im nächsten Atemzug aber zu sagen, dass du das nicht kannst, ist doch auch nicht ganz durchsichtig.

An sich sieht das ganze ja nicht falsch aus, aber du siehst ja selbst, dass du die auftretenden Integrale nicht lösen kannst.

Warum auch immer alle Angst vor Zylinderkoordinanten haben... Hast du denn verstanden, was man unter Polarkoordinaten versteht? Dann sind Zylinderkoordinanten letztendlich nichts anderes als Polarkoordinanten im . Du hast also



Du musst also nur z bestimmen (geht ja hier leicht) und in welchem Intervall sich oder aufhalten sollen.

Tipp: Skizze machen, setze und betrachte die Ebene. Parametrisiert wird hier als Rotationsfläche.
pressure Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nun habe ich:



Aber wie geht es nun weiter:

Ersetzte ich nun alle x durch r mal Kosinus Phi, analog alle y und z im Integral und integriere dann nach Winkel und Radius, statt nach x und y ? Also:
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Parametrisierung ist korrekt, du musst jedoch angeben, von wo bis wo bzw. laufen. Das erhältst du aus der Skizze. Dann bestimmst du deine Tangentialvektoren und den Normalenvektor in Polarkoordinanten, vergisst beim Übergang zu Zylinderkoordinanten nicht das Volumenelement, dass du aus der Jacobischen erhältst und integrierst entsprechend der neuen Grenzen.
pressure Auf diesen Beitrag antworten »

r muss dann von 0 bis 2 und Phi von 0 bis 2 Pi integriert werden.

Allerdings, weiß ich nicht wie ich den Tangential bzw. den Normalenvektor in Polarkoordinaten bestimmten kann. Auch "aus der Jacobischen", sagt mir leider nichts. Das war/ist auch genau der Punkt, warum ich keinen Übergang in Zylinderkoordinaten machen wollte /kann.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dich der Übergang so stört und du überhaupt nicht einsiehst, dass man nur einmal in den sauren Apfel beißen muss, um das zu verstehen, dann kann ich auch aufhören. Du kannst gerne auch weiterhin versuchen deine Integrale in der obigen Form zu berechnen, vielleicht hilft dir ja Mathematica oder Maple.

Vielleicht noch als weitere Hinweise: deine Werte passen, den Normalenvektor kannst du auch aus deiner Parametrisierung gewinnen durch

pressure Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich:



Und dann auf:



Wenn du noch kurz erklären könntest, was mit "Jacobischen" gemeint ist und wie ich damit auf kommen, könnte ich die Aufgabe in Zylinderkoordinaten lösen.

Allerdings wäre ich immer noch mehr an einer Lösung in kartesischen Koordinaten interessiert, auch wenn du das überhaupt nicht bist. Trotzdem Danke.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das Flächenelement ist gegeben durch . Damit ist alles erledigt, weil wir nicht direkt transformiert, sondern bereits den Normalenvektor in Zylinderkoordinaten berechnet haben. Den Rest über die Jacobische findest du hier.

Du musst letztendlich das sehr einfache Integral



auswerten und du bist fertig. Abschließend könntest du ja nochmal über den Satz von Gauß gehen, diesmal aber mit Zylinderkoordinaten.
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