Lemniskate T

15.11.2009, 20:08

Magdallena

Lemniskate T

Eine Lemniskate $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} \Gamma = \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 | ((x-\frac{1}{2} \sqrt{2} )^2 + y^2)((x+\frac{1}{2} \sqrt{2} )^2 + y^2)=\frac{1}{4} \right\} \end{eqnarray*}$ .
Berechnen sie mit Hilfe der Flächenformel den Flächeninhalt des Innengebietes G der Teilmenge $\begin{eqnarray*} \Gamma_0 = \Gamma \cap ([0, \infty ] \times \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Verwenden sie Polarkoodrinaten und rechnen sie $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{cos(2 \alpha )} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$ eine Parametrisierung von $\begin{eqnarray*} \Gamma_0 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Kann mir jemand hier vielleicht sagen wie ich anfange, ich verstehe nur Bahnhof.

15.11.2009, 23:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} [0,\infty) \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind ja die Punkte der rechten abgeschlossenen Halbebene, also des I. und IV. Quadranten. Gesucht ist damit der Flächeninhalt des Kurvenstücks, das im I. und IV. Quadranten liegt.

Mit Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x = r \cos \alpha \, , \ \ y = r \sin \alpha \, ; \ \ \ r>0 \, , \ - \pi < \alpha \leq \pi \end{eqnarray*}$

gilt bekanntlich $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ . Das kann man gleich verwenden, wenn man die inneren Klammern ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \left( \left( x - \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 + y^2 \right) \left( \left( x + \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 + y^2 \right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( x^2 + y^2 + \frac{1}{2} - \sqrt{2} \, x \right) \left( x^2 + y^2 + \frac{1}{2} + \sqrt{2} \, x \right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \left( r^2 + \frac{1}{2} \right) - \sqrt{2} \, x \right) \left( \left( r^2 + \frac{1}{2} \right) + \sqrt{2} \, x \right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere auch das noch aus (dritte binomische Formel) und verwende

$\begin{eqnarray*} x^2 = r^2 \cos^2 \alpha = r^2 \cdot \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2 \alpha) \right) \end{eqnarray*}$

So kommst du schließlich nach Vereinfachen auf

$\begin{eqnarray*} r^2 = \cos(2 \alpha) \end{eqnarray*}$

Für die Punkte des I. und IV. Quadranten gilt $\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Die rechte Seite der letzten Gleichung ist aber nur dann nichtnegativ, wenn $\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ist. So kommst du schließlich auf die angegebene Polardarstellung der Kurve. Du solltest dir die Kurve unbedingt zeichnen, um eine Vorstellung davon zu bekommen.

Für den Flächeninhalt der Kurve zwischen den Strahlen $\begin{eqnarray*} \alpha = \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha = \alpha_2 \end{eqnarray*}$ gilt bekanntlich

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2 }\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} r^2~\dd \alpha \end{eqnarray*}$

Und das auszurechnen, ist dann nur noch ein Kinderspiel ...

16.11.2009, 11:49

Magdallena

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Guten Morgen, erstemal VIELEN DANK für die umfangreiche und echt sehr gut beschriebene antwort!

Habe ich die rechnung dann richtig fortgeführt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{4}}~r^2~d\alpha = \frac{1}{4} r^2 \pi \end{eqnarray*}$
Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2 }\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} r^2~\dd \alpha \end{eqnarray*}$ ?

MfG

16.11.2009, 17:22

Leopold

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Zitat:

Original von Magdallena
Habe ich die rechnung dann richtig fortgeführt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{4}}~r^2~d\alpha = \frac{1}{4} r^2 \pi \end{eqnarray*}$
Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2 }\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} r^2~\dd \alpha \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ ist ja keine Konstante, sondern vielmehr ist $\begin{eqnarray*} r^2 = \cos(2 \alpha) \end{eqnarray*}$ . Da muß ja ein richtiger Zahlenwert herauskommen, da die Kurve keine Parameter enthält.

HAST DU DIR DIE KURVE BEREITS GEZEICHNET?

Die Formel für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Flächenformel für Kurven in Polardarstellung. Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Menge der Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ist, für deren Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq f(\alpha) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \leq \alpha \leq \alpha_2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann rechnet man nach Einführung von Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} A = \int_M \dd (x,y) = \int \limits_{\alpha_1}^{\alpha_2} \left( \int \limits_0^{f(\alpha)} r~\dd r \right)~\dd \alpha = \frac{1}{2} \int \limits_{\alpha_1}^{\alpha_2} \left( f(\alpha) \right)^2~\dd \alpha \end{eqnarray*}$

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