Geradenschar und Ebene

15.11.2009, 22:28

Octav

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Geradenschar und Ebene

Komme mit folgender Aufgabe nicht zurecht bzw, finde keine passablen lösungen.
Nur Kokolores kommt bei meinen rechenwegen raus.

Bestimmen sie a , b , c für $\begin{eqnarray*} g:x=\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E:x=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so , dass a) die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ parallel zur Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist , aber nicht in E liegt b) die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ schneidet.

also ich habe zu erst die beiden sachen gleichgesetzt und ein Lgs gebildet. dann hatte ich 6 variablen und 3 gleichungen. habe dann nach r s t nach abhängigkeit von a , b , c ausgerechnet und wieder in die 3 gleichungssysteme eingesetzt um zu gucken für welche variable a b c dass lgs eine f. A. hat ( so hab ich mir das gedacht) ist aber nicht aufgegangen. Danach habe ich das mit der Linearen Abh. der Spannvektoren und des Richtungsvektors versucht komme aber immer nicht weiter. Ich brauche hilfe könnte die jemand mal rechnen oder mir nen tipp geben.

15.11.2009, 22:40

lgrizu

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RE: Geradenschar und Ebene
die idee, das mit hilfe der linearen abhängigkeit der Spannvektoren und des richtungsvektors zu machen ist doch ganz gut...
wenn der richtungsvektor der geraden als linearkombination der spannvektoren der ebene geschrieben wir, so liegt die gerade entweder in der ebene oder sie liegt parallel dazu.
danach muss das a in dem ortsvektor noch so gewählt werden, dass die gerade nicht in der ebene liegt.
andersrum, ist der richtungsvektor der geraden linear unabhängig zu den Spannvektoren der ebene, so durchstösst die gerade die ebene.
wir machen das mal ganz einfach für a) und addieren die spannvektoren, kann man in diesem fall machen;
die summe ist (2,3,c) der richtungsvektor der geraden ist (1,b,1)
nun sieht man, dass 1=1/2*2 ist.
das skalar ist also 1/2.
wie sehen b und c dann aus?

15.11.2009, 22:50

Octav

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RE: Geradenschar und Ebene

Zitat:

und addieren die spannvektoren, kann man in diesem fall machen;
die summe ist (2,3,c) der richtungsvektor der geraden ist (1,b,1)

also das ist mir neu das man das so machen kann. Wieso darf man das , haben wir im unterricht noch nie so gehabt.

15.11.2009, 22:54

mYthos

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Dein Gedankengang ist richtig, die Rechnung dazu wird aber vermutlich kompliziert.
Besser ist es, hier einige "Gedankenarbeit" zu investieren.

a)
g zu E parallel: Dieser Fall hängt weitgehend von der Lage des Normalvektors der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden ab. Daher muss letztendlich a nur so gewählt werden, dass die Gerade nicht in der Ebene liegt, ansonsten kann es jeden anderen Wert annehmen.
Berechne also den Normalvektor der Ebene (in Abhängigkeit von c). Dieser muss senkrecht auf den Richtungsvektor der Geraden sein. Was bedeutet dies für das skalare Produkt der beiden Vektoren? (Es folgt daraus eine Beziehung für b und c)

b)
In diesem Fall treffen alle Ergebnisse des Falles a) nicht zu.

15.11.2009, 22:56

lgrizu

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RE: Geradenschar und Ebene
du suchst doch eine linearkombination: r*(1,1,0)+s*(1,2,c)=t*(1,b,1)
wir setzen r=s=1 und erhalten (1,1,0)+(1,2,c)=t*(1,b,1)
und das ist doch (2,3,c)=t*(1,b,1)
also 1/t*(2,3,c)=(1,b,1)
es ist nicht immer sinnvoll, das so zu machen, aber in diesem fall ist es einfacher, zwei skalare vorzugeben.

15.11.2009, 23:03

Octav

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Ok , wenn ich das jetzt (2,3,c)=t*(1,b,1) habe, sieht man ja schon quasi was da für zahlen rauskommen.

also t=2 b=3/2 c=2 oder?

Also die Begriffe Normalenvektor und Skalar haben wir leider noch nicht in der Schule behandelt.

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15.11.2009, 23:08

lgrizu

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genau, und jetzt kannste das jetzt für a) machen, nun sollen sie linear unabhängig sein.

15.11.2009, 23:13

Octav

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aber wieso kann ich denn bei dem schritt davor r=s=1 setzen?
bei a) sollten die doch die vektoren linear abhängig sein ?
wenn sie unabängig sind schneiden sie sich doch , wie du gesagt hast.

15.11.2009, 23:13

mYthos

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Wie gesagt, nur so ist m. E. eine vernünftige Gesamtlösung (b, c) zu erzielen. Deine Lösung (sie ist zwar eine richtige) ist allerdings nur eine einzige, es gibt aber deren unendlich viele. Es interessiert unter Umständen die Gesamtheit, sie lautet

$\begin{eqnarray*} c(b -1) = 1 \end{eqnarray*}$

__________________________

Im Weiteren halte ich mich jetzt aber hier raus, sonst kochen schon 2 Köche ... Big Laugh

Big Laugh

mY+

15.11.2009, 23:19

lgrizu

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@mythos
die aufgabenstellung lautet doch, das a,b,c bestimmt werden sollen, dass die gerade parallel ist, also beliebig parallel, und nicht dass die geradenschar aller parallelen geraden bestimmt werden soll.
insofern reicht eine lösung doch aus.
sicherlich hast du recht, aber wie weit ist man mit 17, also in der 11. klasse denn mit LA vorangeschritten?

15.11.2009, 23:26

mYthos

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Von beliebig parallel sehe ich zwar in der Angabe nichts, aber wenn bereits EINE Lösung ausreicht, soll's natürlich recht sein.

Wenn dem Schüler bereits lineare Abhängigkeit kein Fremdwort ist, sollte auch der Normalvektor der Ebene und das skalare Produkt bereits bekannt sein. Für uns Helfer besteht leider oftmals eine Unsicherheit, welchen Kenntnisstand des Fragestellers wir voraussetzen dürfen.

Gr
mY+

15.11.2009, 23:30

Octav

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Obwohl ich nicht in der 11ten sondern schon in der 13ten klasse bin und mein Abitur grad mache , wundert es mich auch dass wir noch kein skalar und normalenvektor hatten. Aber in dieser Hinsicht , weiß ich auch nicht wie genau mein Lehrer diese Aufgabe haben möchte.

15.11.2009, 23:35

lgrizu

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okay, jahrgang übersprungen oder alter falsch angegeben, mit 4 oder 5 eingeschult wird schwer.....
aber ist nen anderes thema;
dann ist die frage, wie du das zu lösen meinst.

16.11.2009, 17:26

Octav

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Zitat:

Original von mYthos
Wie gesagt, nur so ist m. E. eine vernünftige Gesamtlösung (b, c) zu erzielen. Deine Lösung (sie ist zwar eine richtige) ist allerdings nur eine einzige, es gibt aber deren unendlich viele. Es interessiert unter Umständen die Gesamtheit, sie lautet

$\begin{eqnarray*} c(b -1) = 1 \end{eqnarray*}$

__________________________

Im Weiteren halte ich mich jetzt aber hier raus, sonst kochen schon 2 Köche ... Big Laugh

Big Laugh

mY+

genau das haben wir heute als lösung bekommen in der schule für diese aufgabe .
keiner hatte sie richtig gelöst. Kannst du mir sagen wie man drauf kommt?

16.11.2009, 17:54

lgrizu

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sagt dir der begriff kreuzprodukt etwas?
...damit bestimmt man einen Vektor, der auf zwei vektoren senkrecht steht.
man bildet das kreuzprodukt der spannvektoren der ebene:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c \\ c \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dieser vektor steht senkrecht auf den spannvektoren der ebene, also senkrecht auf der ebene selbst.
nun soll er auch senrecht auf dem richtungsvektor der geraden stehen, also ist das skalare produkt der vektoren 0 (nach cosinussatz):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -c \\ c \\ -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix}=0 \Rightarrow -c+bc-1=0 \Rightarrow -c+bc=1 \Rightarrow c(b-1)=1 \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 18:07

Octav

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nein von einem kreuzprodukt habe ich noch nie etwas gehört aber danke für die erklärung.

16.11.2009, 18:20

lgrizu

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man kann das analog auch so lösen:
wir suchen einen vektor, der auf den spannvektoren senrecht steht, sei dieser vektor (x,y,z)
dann muss nach cosinussatz
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
dasn führt auf ein lineares Gleichungssystem:
x+2y+cz=0
x+y =0

wir haben drei variablen und zwei gleichungen, also ziehen wir erst mal die zweite von der ersten ab und erhalten:
y+cz=0;
nun wählen wir z beliebig, einfach ist natürlich z=1 oder z=-1 zu wählen.
wir wählen z=1,
dann ist y=-c
und aus der zweiten gleichung folgt x=-y,
also x=c.
nun haben wir den Vektor (c,-c,1), prinzipiell also das gleiche, dieser vektor ist das -1-fache des anderen vektors, den man über das kreuzprodukt ermittelt hat.
also so gehts dann auch.....
mit dem so errechneten vektor verfährt man dann weiter, wie ich das in dem letzten beitrag gesagt habe, wieder skalarprodukt der vektoren bilden.
ich hab mich übrigens verschrieben, der zweite Vektor im Kreuzprodukt ist (1,1,0) und nicht (1,2,0), dann stimmt das ergebnis auch....

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