Grenzwert abschätzen

16.11.2009, 13:22

brettvormkopf1

Grenzwert abschätzen

Wir stehen grade voll auf dem Schlauch, wie können wir Folgen folgender Art abschätzen ohne das Epsylon-Kriterium zu benutzen? Wär echt super, wenn uns jemand helfen könnte... Danke smile

(2n^2+3n-1)/(n^3+n^2)

oder:

(2n+1)/(1-3n)+(4n-1)/(3n-1)

16.11.2009, 13:53

klarsoweit

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RE: Grenzwert abschätzen
Wer ist wir?

Wenn es um den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2n^2+3n-1}{n^3+n^2} \end{eqnarray*}$ geht, dann klammere mal in Zähler und Nenner n³ aus.

16.11.2009, 13:58

Kühlkiste

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RE: Grenzwert abschätzen

Zitat:

Original von klarsoweit
Wer ist wir?

Wenn es um den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2n^2+3n-1}{n^3+n^2} \end{eqnarray*}$ geht, dann klammere mal in Zähler und Nenner n³ aus.

Oder Du schätzt wie folgt ab:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{2n^2+3n-1}{n^3+n^2}\leq\frac{5n^2}{n^3}=\frac 5n\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

20.01.2010, 12:46

mnized

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hi

ich versteh das Abschätzen nicht, könnteste vllt bissel genauer drauf eingehen verwirrt

an deinem Bsp)?

MFG

20.01.2010, 12:53

klarsoweit

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RE: Grenzwert abschätzen
Was verstehst du denn da nicht?

Daß $\begin{eqnarray*} 2n^2+3n - 1 \leq 2n^2+3n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n^3+n^2 \geq n^3 \end{eqnarray*}$ ist, sollte sofort einleuchten.

20.01.2010, 18:03

mnized

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RE: Grenzwert abschätzen
ja wie du von der ausgangsfunktion genau da drauf kommst?

wie geht man da vor? :S

20.01.2010, 18:13

mnized

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RE: Grenzwert abschätzen
ich komm z.B. hier nicht mehr weiter, weil ich probleme bei der abschätzung habe :S

wär nett, wenn du es mir iwie verständlich machen würdest smile

an = (4n^5 - n^3 + 6) / (17n^4 + n - 7)

21.01.2010, 10:20

klarsoweit

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RE: Grenzwert abschätzen
Zunächst solltest du einen Plan haben, was du bei der Folge zeigen willst. Konvergenz? Divergenz?

21.01.2010, 10:33

mnized

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diese folge ist ja divergent, wenn ich das richtig kapiert habe...

21.01.2010, 10:46

klarsoweit

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Also mußt du die Folge nach unten abschätzen. Dazu darfst du den Zähler kleiner und den Nenner größer machen, sofern beide positiv sind, was man aber für genügend große n immer erreichen kann.

21.01.2010, 12:10

mnized

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ok bis hierhin habe ich es kapiert

ne andere Frage: Kann ich daraus folgern, dass wenn die Folge beispielsweise konvergent, dass ich dann die Folge nach oben abschätzen kann?

zu der aufgabe:
kann ich jetzt in dem Fall einfach so abschätzen:

an = (4n^5 - n^3 + 6) / (17n^4 + n - 7) = (4n^5-n^5) / (17n^4 + n^4) = (3n^5)/(18n^4)

geht das so?
oder wie würdest du es denn machen?? :S

21.01.2010, 12:41

klarsoweit

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Also da fehlen schon mal die >=-Zeichen. Und Latex könntest du dir auch mal angewöhnen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{4n^5 - n^3 + 6}{17n^4 + n - 7} \geq \frac{4n^5-n^5}{17n^4 + n^4} = \frac{3n^5}{18n^4} \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung ist dann ok.

Zitat:

Original von mnized
ne andere Frage: Kann ich daraus folgern, dass wenn die Folge beispielsweise konvergent, dass ich dann die Folge nach oben abschätzen kann?

Wenn du bei der Folge a_n Konvergenz vermutest, dann muß du a_n nach oben und unten abschätzen. Du brauchst dann also 2 Folgen b_n und c_n mit $\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ und obendrein müssen deren Grenzwerte gleich sein.

21.01.2010, 13:32

mnized

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Du meintest doch, wenn man die Folge nach unten abschätzt. Dann kann ich doch den Zähler kleiner und den Nenner größer machen?

Ich hab aber den Zähler vergrößert, in dem ich von ..n³ auf n^4 und die +6 weggelassen, wieso kann man das jetzt so machen?

21.01.2010, 15:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von mnized
Du meintest doch, wenn man die Folge nach unten abschätzt. Dann kann ich doch den Zähler kleiner und den Nenner größer machen?

Ja.

Zitat:

Original von mnized
Ich hab aber den Zähler vergrößert, in dem ich von ..n³ auf n^4 und die +6 weggelassen, wieso kann man das jetzt so machen?

Das ist eine Verkleinerung.

01.06.2014, 02:41

akamanston

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also mußt du die Folge nach unten abschätzen. Dazu darfst du den Zähler kleiner und den Nenner größer machen, sofern beide positiv sind, was man aber für genügend große n immer erreichen kann.

hihi, ich bin zu krass, dass ich jetzt sowas herauskrame^^

$\begin{eqnarray*} =\frac{2^{n} }{n^2}\geq \frac{1^{n} }{(n^2)^n} =(\frac{1}{n^{2} }) ^{n} \end{eqnarray*}$

^^

01.06.2014, 09:11

Nofeykx

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Steht auch irgendein Sinn hinter deinem Post, oder einfach nur weil du krass bist ?

01.06.2014, 12:43

akamanston

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es hat sehr wohl einen sinn! ich will wisseen wieso die abschätzung falsch ist obwohl ich die anweisung richtig befolgt habe.

es geht halt darum, divergenz zu zeigen. hätte ich vielleicht erwähnen sollen.

01.06.2014, 12:57

10001000Nick1

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Wieso sollte die Abschätzung falsch sein?
Sie bringt dir nur nichts beim Zeigen der Divergenz.

01.06.2014, 13:00

akamanston

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ein paar post über mir wurde so ein die divergenz gezeigt

Zitat:

wieso klappt das nicht bei mir!!!

01.06.2014, 13:08

10001000Nick1

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Die Abschätzung muss natürlich auch divergent sein, wenn du daraus auf die Divergenz der ursprüunglichen Folge schließen willst.
Du hast nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ größer ist als irgendeine konvergente Folge. Aber das sagt dir jetzt nichts über Konvergenz oder Divergenz.

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