Beweis dass die Folge xn = (xn-1+xn-2)/2 konvergiert

16.11.2009, 13:52	Nymous	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis dass die Folge xn = (xn-1+xn-2)/2 konvergiert Kann mir jemand dabei helfen die Konvergenz der Folge xn = (xn-1+xn-2)/2 zu beweisen? Wie soll ich das anstellen?
16.11.2009, 14:02	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis dass die Folge xn = (xn-1+xn-2)/2 konvergiert Betrachte geeignete Teilfolgen, die jeweils monoton fallend bzw. wachsend sind.
16.11.2009, 14:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst zur Klärung deines chaotischen Aufschriebs: Du meinst in Wahrheit doch $\begin{eqnarray} x_n = \frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2} \end{eqnarray}$ , oder? In dem Fall hilft wegen $\begin{eqnarray} x_n-x_{n-1} = -\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{2} \end{eqnarray}$ die Substitution $\begin{eqnarray} y_n := x_n-x_{n-1} \end{eqnarray}$ , die somit zu $\begin{eqnarray} y_n = -\frac{1}{2} \cdot y_{n-1} \end{eqnarray}$ führt. Das ist eine geometrische Folge mit dann expliziter Darstellung $\begin{eqnarray} y_n = \left(-\frac{1}{2} \right)^ {n-1} y_1 \end{eqnarray}$ . Über $\begin{eqnarray} x_n = x_0 + \sum_{k=1}^{n} (x_k-x_{k-1}) = x_0 + \sum_{k=1}^{n} y_k \end{eqnarray}$ kriegst du dann auch die explizite Darstellung deiner Originalfolge (in Abhängigkeit von den Anfangswerten $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ), der man dann die Konvergenz leicht ansieht.

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