Summenberechnung mit Doppelsumme

Neue Frage »

16.11.2009, 15:04	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenberechnung mit Doppelsumme Hallo zusammen, ich hänge mal wieder bei Mathe. Auf unserem Übungsblatt lautet die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie folgende Ausdrücke: (Mal davon abgesehen, was ich unter "berechne" verstehen soll o.O) a) $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(2k-1) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war, dass dies die Summe der ersten n natürlichen ungeraden Zahlen ist und durch rumprobieren bin ich schließlich auf die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(2k-1)= \frac{1}{4} [(2n-1)^{2}+(2n-1)]+\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ gekommen. Habe ich die Aufgabe überhaupt richtig verstanden? o.O Lustig wirds dann bei Aufgabe b: $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~[j(n-k)] \end{eqnarray*}$ Da habe ich nichtmal einen Ansatz, wie ich das lösen kann. Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus Dito
16.11.2009, 15:17	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenberechnung mit Doppelsumme $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}~(2k-1) = -n+2\sum_{k=1}^{n}~k = -n+2\frac{(n+1)n}{2} \end{eqnarray}$ damit sollte alles klar sein, oder?
16.11.2009, 15:22	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, nur ob ich es richtig verstanden habe: das heißt aus $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~[j(n-k)] \end{eqnarray}$ könnte ich als ersten Schritt das j aus der ersten Summe ausklammern, was mich zu $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n~j\sum_{k=1}^n~(n-k) \end{eqnarray}$ bringen würde?
16.11.2009, 15:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - hinsichtlich der inneren Summe (die mit Index $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ) ist Faktor $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ als Konstante anzusehen und kann daher als Faktor aus dieser inneren Summe rausgezogen werden.
16.11.2009, 15:30	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
hm gut soweit, und es sit mir aufgefallen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(n-k)=\sum_{k=1}^{n-1}~k \end{eqnarray}$ (<-- wäre ja dann die Gauß-Formel) aber wie komme ich darauf? bin nur durch einsetzten draufgekommen...ich sehe momentan den Wald vor lauter Bäumen nicht Edit: damit wäre ich dann ja soweit, dass ich stehen hätte: $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~[j(n-k)]=\sum_{j=1}^n~j* \frac{(n-1)^{2}n}{2} = \frac{(n-1)^{2}n}{2}\sum_{j=1}^n~j \end{eqnarray*}$ --> nochmal Gauß... Oder habe ich da jetzt einen Denkfehler eingebaut? zumal ich den einen Schritt immer noch nicht nachvollziehen kann
16.11.2009, 16:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist besser zu verstehen, wenn man $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n ~ (n-k) = \sum_{m=1}^{n-1}~m \end{eqnarray}$ schreibt - das entspricht einer Substitution $\begin{eqnarray} m=n-k \end{eqnarray}$ : Während $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die Werte $\begin{eqnarray} 1,2,\ldots,n-1,n \end{eqnarray}$ durchläuft, nimmt $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die Werte $\begin{eqnarray} n-1,n-2,\ldots,1,0 \end{eqnarray}$ an. Da die Summationsreihenfolge bei endlichen Summen generell egal ist, kann man das dann auch gemäß $\begin{eqnarray} \sum_{m=0}^{n-1} m \end{eqnarray}$ summieren, wobei der Summand für $\begin{eqnarray} m=0 \end{eqnarray}$ im vorliegenden Fall auch weggelassen werden kann, da er mit Wert 0 nix zur Summe beiträgt.
Anzeige

16.11.2009, 16:46	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das mit der Reihenfolge der Summanden ist klar...und dass ich m nur bis (n-1) laufen lassen darf kommt daher, weil in der ersten Summe k=0 nicht enthalten ist (was n-0=n entsprechen würde) --> deswegen m nur bis n-1 okay, jetzt wirds klarer =) Danke für eure Hilfe lg Dito
16.11.2009, 17:44	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
so, sorry für den Doppelpost aber ich komm mit diesem blöden Summenzeichen nicht klar. die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^{2}-1} (n\geq 2) \end{eqnarray}$ Hinweis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^{2}-1}=\frac{1}{(k-1)(k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ \{1} Das heißt also $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^{2}-1}=\sum_{k=2}^n~\frac{1}{2}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray}$ da k=2 gilt für den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , wenn ich ihn ausklammer: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{2}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{2}(n-1)\sum_{k=2}^n~(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray}$ Wenn ich die Summe auseinanderziehe und "umindexiere" komme ich auf folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^{2}-1}=\frac{1}{2}(n-1)(\sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n+1}~\frac{1}{k}) \end{eqnarray}$ Nur steh ich schon wieder total auf dem Schlauch, wie ich da jetzt weitermachen soll um die Summenzeichen wegzubekommen
17.11.2009, 06:31	Dito	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn keiner einen tipp geben, wie ich die summenzeichen wegbekomme? ich komm einfach nicht drauf
17.11.2009, 09:41	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
teleskopsumme

Neue Frage »

Antworten »

Summenberechnung mit Doppelsumme

Verwandte Themen