Zufallsvariablenrechnung

16.11.2009, 16:17

lordofazeroth

Zufallsvariablenrechnung

Ein Trick gelingt in 40% der Versuche.
Geligt er beim ersten Versuch, bekommt man 100€, gelingt er beim zweiten oder dritten Versuch gibt es 30€, gelingt er erst beim vierten Versuch, erhält man 10€, ansonsten nichts.
Wie ist die Verteilung der Zufallsvariable X = Gage für den Trick und die zu erwartende Gage?

Mein Ansatz:

Erwartungswert:
E(x) = 0,4 * 100 + 0,6 * 0,4 * 30 + 0,6^2 * 0,4 * 30 + 0,6^3*0,4*10
= 52,384
Der Erwartungswert für die Gage.

So korrekt?

16.11.2009, 16:47

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Ja, müsste stimmen. Für den ersten Teil der Aufgabe solltest du natürlich noch $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ für die vier in Frage kommenden Werte $\begin{eqnarray*} k=0,10,30,100 \end{eqnarray*}$ angeben.

17.11.2009, 09:21

lordofazeroth

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du meinst schlicht und einfach einsetzen?

P(x) = 0,6^(n-1) * 0,4
und für n = 0, 10, etc. einsetzen?

EDIT:
Blödsinn, ich muss n= 1,2,3,4 einsetzen...

17.11.2009, 09:47

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Nein, meine ich nicht - da hast du jetzt überhaupt nicht nachgedacht bei deiner vollständig sinnfreien Antwort. unglücklich

Im ersten Teil deiner Aufgabe ist nach der Verteilung der Gage $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gefragt. Es gibt nur die von mir zuletzt genannten vier möglichen Gagen 0, 10, 30, 100, und jedem dieser Werte kannst du die Wahrscheinlichkeit zuordnen, dass gerade diese Gage ausgezahlt wird?

Klarer wird das ganze vielleicht, wenn du die Gage $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ordentlich in Bezug setzt zur eigentlich bekannten, geometrisch verteilten Anzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Versuche:

$\begin{eqnarray*} [X=0] = [N>4] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [X=10] = [N=4] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [X=30] = [N=2 \vee N=3] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [X=100] = [N=1] \end{eqnarray*}$

Entsprechend lassen sich dann die Wahrscheinlichkeiten berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(X=0) &=& P(N>4) = 1-P(N\leq 4) \\ P(X=10) &=& P(N=4) \\ P(X=30) &=& P(N=2) + P(N=3) \\ P(X=100) &=& P(N=1) \end{eqnarray*}$

und dort dann erst $\begin{eqnarray*} P(N=k) = 0.4\cdot 0.6^{k-1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

17.11.2009, 13:22

lordofazeroth

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Danke

Aber in mathematisch korrekter Schreibweise müsste hier:
P( k=N ) stehen, die Variable, die definiert werden soll steht links?

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P(N=k) = 0.4\cdot 0.6^{k-1} \end{eqnarray*}$

17.11.2009, 13:58

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Die Reihenfolge ist völlig wurst, wichtig ist nur, dass die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ erklärt werden sollte, und das habe ich vorher getan:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Anzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Versuche

In der von dir zitierten Zeile wird nix definiert, sondern nur die Wahrscheinlichkeit aufgeschrieben, die zu dem vorher definierten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gehört.

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