Integral durch Ableiten nach einem Parameter ausrechnen.

16.11.2009, 16:53	Daniel1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral durch Ableiten nach einem Parameter ausrechnen. Hallo liebes Forum, Ich soll folgendes Integral ausrechnen $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~log(a^{2} \cdot cos^{2}(x)+b^{2} \cdot sin^{2}(x))~dx \end{eqnarray}$ Dabei soll ich die Methode "Integrieren durch differenzieren nach einem Parameter" anwenden. Diese Aufgabe soll aber besonders schwer sein, und es soll laut Prof "tricky" sein auf die richtige Taktik zu kommen. Habt ihr ideen, wie man das ganze angehen könnte? Habe da eine Lösung vorbereitet, aber bezweifle eher dass sie stimmt: Habe erst nach a abgeleitet und dann mit der Ableitung an stelle b weitergerechnet. Meine Lösung wäre:
16.11.2009, 20:06	Daniel1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn niemand eine idee?
16.11.2009, 20:54	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Yo, das ding is echt ne bitch. Schau mal, ob du mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial}{\partial a^2}+\frac{\partial}{\partial b^2}\right) F(a,b) \end{eqnarray}$ was anfangen kannst. (mit $\begin{eqnarray} F(a,b)=\int_0^{\pi/2}... \end{eqnarray}$ ) dieses Integral sollte lösbar sein. Dann hast du eine Differentialgleichung für F, die du dann lösen kannst. (Ohne Garantie, dass es auch einfacher gehen könnte)
16.11.2009, 21:44	Daniel1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für deine Antwort. Habe in meinem Leben noch keine Differentialgleichung gelöst Könntest du mir einen Wink geben wie der Ansatz wäre, dann könnte ich weiterrechnen. Kann mir momentan nicht wirklich vorstellen wie das mit der DGL funktionieren soll. Addiere ich die beiden Ableitungen nach a und b? Und dann? Ein kleiner Wink mit dem Zaunpfahl würde mir schon weiterhelfen.
16.11.2009, 22:02	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es ist ja $\begin{eqnarray} \left(\frac{d}{da^2}+\frac{d}{db^2}\right) F(a,b) = \int \frac{dx}{a^2\cos^2(x)+b^2\sin^2(x)}=\frac{\pi}{2ab} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \left(b\frac{d}{da}+a\frac{d}{db}\right) F(a,b) =\pi \end{eqnarray}$ Jetzt brauchst nur noch n passendes F(a,b), welches diese Gleichung löst.
17.11.2009, 12:47	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Poste mal die Lösung $\begin{eqnarray} F(a,b)=\pi \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \end{eqnarray}$ welche insbesondere die Spezialfälle a=b richtig wiedergibt. Mich würde interessieren, obs da noch n anderen weg, das zu zeigen.
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17.11.2009, 13:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man braucht die Variablen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ nicht gleichberechtigt zu behandeln. Ob das dann allerdings einfacher ist ... Hier mein Vorschlag: Es genügt, den Fall $\begin{eqnarray} a \geq 0 , \, b \geq 0 , \, \|a\| + \|b\| > 0 \end{eqnarray}$ zu behandeln. Fasse $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als Variable und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ als Parameter auf, betrachte also die Funktion $\begin{eqnarray} F_b(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left( a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x \right)~\dd x \end{eqnarray}$ Du hast richtig differenziert: $\begin{eqnarray} F_b'(a) = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}~\dd x \end{eqnarray}$ Das letzte Integral kann nun berechnet werden. $\begin{eqnarray} \sin^2 x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos^2 x \end{eqnarray}$ können durch $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ ausgedrückt werden (siehe Formelsammlung). Dann kannst du so substituieren, daß es im Argument des Cosinus wieder $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ heißt. Wenn du auch noch Symmetrieeigenschaften und die Periodizität verwendest, kommst du auf die folgende Gleichheit: $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}~\dd x = \frac{1}{4} \int_0^{2 \pi} \frac{1 + \cos x}{a^2 + b^2 + \left( a^2 - b^2 \right) \cos x}~\dd x \end{eqnarray}$ Die Berechnung des Integrals erfolgt jetzt zum Beispiel übers Komplexe mit dem Residuensatz oder übers Reelle mit der klassischen Substitution $\begin{eqnarray} t = \tan{\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ oder sonstwie trickreich. Das Ergebnis jedenfalls ist $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}~\dd x = \frac{\pi}{2a(a+b)} \end{eqnarray}$ Und die Multiplikation mit $\begin{eqnarray} 2a \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} F_b'(a) \end{eqnarray}$ . Durch Integration findest du daraus $\begin{eqnarray} F_b(a) \end{eqnarray}$ . Durch die Berechnung von $\begin{eqnarray} F_b(b) \end{eqnarray}$ kannst du die Integrationskonstante ermitteln. Denn in diesem speziellen Fall kann das Originalintegral leicht berechnet werden. Mein Ergebnis, auf alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a\| + \|b\| > 0 \end{eqnarray}$ ausgedehnt, lautet $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left( a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x \right)~\dd x = \pi \ln( \|a\| + \|b\| ) - \pi \ln 2 \end{eqnarray}$ Und das stimmt mit wogirs Ergebnis überein.

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