Rotationskörper + Volumenbestimmung

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04.10.2006, 13:04	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper + Volumenbestimmung Hi @all, ich ahbe folgende Problemstellung: Ein Kreis, dessen Mittelpunkt die Koordinate M(0\|b) und den Radius r hat, soll um die x-Achse rotiert werden. Berechne das Volumen des entstandenen Körpers. Meiner Vorstellung nach, müsste das ja ein Torus ergeben. Meine erste Idee war ich nehme die allgemeine Kreigleichung, löse diese nach Y auf und "integriere" diese Funktion zum Quadrat von -r bis r, da der Mittelpunkt des Kreises auf der Y-Achse liegt. Anschließend das ganze mal Pi. Aber irgendwie erhalte ich da nur Unsinn. Es geht schon los mit dem umfromen der Kreisgleichung: Für y gäbe es zwei Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} y=b-\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=b+\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray}$ Mit welchem term müsste ich nun weiterrechnen? Angenommen mit dem zweiten: $\begin{eqnarray} V=\pi \int_{-r}^{r}~(b+\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}~dx \end{eqnarray*}$ Und hier komme ich dann endgültig nicht weiter: Bei der Stammfunktion streikt mein Gehirn. Derive zeigt mir dann irgendwas mit sign an, und das hilft mir nicht. Daher: Ist dieser Ansatz überhaupt vertretbar/praktikabel? Ich hoffe auf eure Hilfe und Korrektur. Danke. Grüße GoTo
04.10.2006, 13:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper + Volumenbestimmung Betrachte die 2 Funktionen $\begin{eqnarray} y_1(x)=b+\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2(x)=b-\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray}$ Der Torus ist das Rotationsvolumen von y_1 abzüglich das Rotationsvolumen von y_2. Schreibe die entsprechenden Integrale mal hin. Unter Garantie werden sich da auch Terme aufheben.
04.10.2006, 14:18	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber warum ist das die Differenz der beiden Terme? Nachtrag: Habe es verstanden, danke. Aber spätestens bei dem Bestimmen der Stammfunktion eines der beiden Terme streike ich erneut. Kann mir da jemand helfen?
04.10.2006, 15:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir können dir dabei helfen, aber du solltest die Rechnung erstmal selbst machen, so weit es geht. Berechne erstmal $\begin{eqnarray} (y_1(x))^2 - (y_2(x))^2 \end{eqnarray}$ . Das wird dann im Anschluß integriert. Tipp: nutze dazu die 3. binomische Formel.
04.10.2006, 15:51	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich bin jetzt schon mal ein wenig weiter: $\begin{eqnarray} V=\pi \int_{-r}^{r}~((b+(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2})-(b-(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}))~dx \end{eqnarray}$ Das ganze habe ich dann mal ausmultipliziert und zusamengefasst: $\begin{eqnarray} V=\pi \int_{-r}^{r}~4b\sqrt{r^{2}-x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$ Jetzt würde mir nur noch einfallen, die 4b aus dem Integral zu ziehen.
04.10.2006, 15:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du machen. Substituiere dann x = r*sin(u).
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04.10.2006, 16:03	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stopp mal, substituieren kann ich ja noch nachvollziehen, wegen der Wurzel, aber warum unbedingt mit dem Sinus? Um ehrlich zu sein, so weit sind wir noch gar nicht. Integrieren mit Substitution hatten wir noch nicht, daher benötige ich hier eine kleine Anleitung/ Erklärung. Danke
04.10.2006, 17:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schau um 20 Uhr nochmal rein. Vielleicht macht jemand anders weiter.
04.10.2006, 17:33	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das nützt mir leider nicht viel. Ich schnll daseinfach mit der Substitution nicht. Bitte lasst mich nicht im Stich
04.10.2006, 18:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ihr die Integralsubstitution nicht hattet, dann macht das jetzt auch keinen Sinn, das zu erklären. Dann finde ich die Aufgabe aber auch etwas blöd. Nun gut. Betrachten wir das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-r}^{r}~\sqrt{r^{2}-x^{2}}~dx \end{eqnarray}$ , so sehen wir, daß es ein Integral über einen Halbkreis mit Radius r ist. Da ist die Fläche bekanntlich pi*r²/2. Das würde ich an dieser Stelle nützen. EDIT: mache jetzt Feierabend. Endlich!

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