Quadratische gleichung durch Substitution lösen

16.11.2009, 17:40

Karl W.

Quadratische gleichung durch Substitution lösen

Hallo,
kann ich eine solche Gleichung irgendwie durch Substitution oder Quadratische Ergänzung lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} k \cdot b^2 + m \cdot g \cdot b-m \cdot g \cdot a=0 \end{eqnarray*}$

LaTeX-Code korrigiert
Gualtiero

16.11.2009, 17:43

Calvin

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Grundsätzlich solltest du noch dazusagen, nach welcher Variable du auflösen möchtest. Aber in diesem Fall kannst du nach jeder Variable relativ bequem auflösen, und zwar ohne Substitution.

Quadratische Ergänzung brauchst du nur beim Auflösen nach b. Alternativ geht es mit abc-/pq-/Mitternachtsformel.

16.11.2009, 17:52

Karl W.

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Genau ich wollte nach b auflösen ohne pq Formel.

16.11.2009, 18:12

Calvin

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Dann hilft nur quadratische Ergänzung.

Gibt es einen Grund, warum du es ohne pq-Formel machen willst/sollst?

16.11.2009, 18:20

Karl W.

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Nein ist nur für mich um es mal zu probieren. Man geht ja davon aus: $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ aber wo ist mein $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2009, 18:28

Calvin

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RE: Quadratische gleichung durch Substitution lösen
Da in deiner Gleichung auch schon ein b vorkommt, nehme ich für die binomische Formel andere Variablen und sage $\begin{eqnarray*} (d+e)^2=d^2+2de+e^2 \end{eqnarray*}$

Deine Gleichung ist noch nicht normiert, also von der Form $\begin{eqnarray*} mb^2+nb+p=0 \end{eqnarray*}$

Verglichen mit der binomischen Formel ist $\begin{eqnarray*} (mb^2)=d^2 \end{eqnarray*}$

In deinem speziellen Fall ist dann sogar noch ausführlicher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}kb^2=d^2 \end{eqnarray*}$

Ich würde dir raten, die Gleichung erst zu normieren (Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ beachten)

EDIT: Binomische Formel korrigiert

16.11.2009, 18:43

Karl W.

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RE: Quadratische gleichung durch Substitution lösen

Zitat:

Original von Calvin
Da in deiner Gleichung auch schon ein b vorkommt, nehme ich für die binomische Formel andere Variablen und sage $\begin{eqnarray*} (d+e)^2=d^^2+2de+e^2 \end{eqnarray*}$

Wo kommt das r her?

16.11.2009, 18:45

Calvin

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Ist ein Tippfehler. Soll $\begin{eqnarray*} (d+e)^2=d^2+2de+e^2 \end{eqnarray*}$ heißen.

16.11.2009, 18:56

Karl W.

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Also ohne Normieren geht es nicht, oder?

Dann hier die normierte: $\begin{eqnarray*} b^2+\frac{2mgb}k-\frac {2mga} k=0 \end{eqnarray*}$

Nur wo ist dann mein $\begin{eqnarray*} b^2? \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 20:49

Calvin

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Doch, es geht auch ohne Normieren. Aber so ist es meiner Meinung nach übersichtlicher.

Das "b²" musst du dir durch den Term in der Mitte ermitteln. Um es deutlich zu machen, gehe ich wieder zur die Form $\begin{eqnarray*} (d+e)^2=d^2+2de+e^2 \end{eqnarray*}$ zurück.

Wenn ich jetzt mit $\begin{eqnarray*} b^2+\frac{2mg}{k}\cdot b-\frac{2mga}{k} \end{eqnarray*}$ vergleiche, dann ist $\begin{eqnarray*} d=b \end{eqnarray*}$ und beim gemischten Term $\begin{eqnarray*} 2de = \frac{2mg}{k}\cdot b \end{eqnarray*}$

Damit kannst du $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ bestimmen.

16.11.2009, 21:31

Karl W.

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ok also ist:
$\begin{eqnarray*} e=\frac {mg} k \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 21:37

Calvin

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Ja, das ist richtig.

16.11.2009, 22:12

Karl W.

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Ok also gesamt:
$\begin{eqnarray*} (b+\frac{mg}k)^2-(\frac{mg} k)^2-\frac {2mga}k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b+\frac{mg}k)^2-\frac{m^2g^2-2mgak} {k^2}=0 \end{eqnarray*}$

Und wie Löse ich jetzt nach b auf?

17.11.2009, 08:23

Calvin

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Kannst du das einfache Beispiel $\begin{eqnarray*} (b+e)^2-d=0 \end{eqnarray*}$ nach b auflösen?

Du hast genau die gleiche Form. Nur sehen die Terme für d und eein bißchen komplizierter aus.

Falls du immer noch keine Idee hast: bringe d auf die rechte Seite. Danach ziehe die Wurzel. Wobei du spätestens jetzt wieder im Hinterkopf haben solltest, dass theoretisch wieder eine aufwändige Fallunterscheidung notwendig wäre.

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