mehrdimensionale Stetigkeit

16.11.2009, 17:41	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
mehrdimensionale Stetigkeit Untersuchen Sie die Funktion $\begin{eqnarray} g(x,y)=\begin{Bmatrix} {\frac{x y^2}{\sqrt{x^2+y^2} }} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)= (0,0) \end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g:{\mathbb R }^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ auf Stetigkeit. Als Definition der Stetigkeit liegt mir folgendes vor: $\begin{eqnarray} \lim_{\vec{x} \to \vec{a} } f(\vec{x} )=f(\vec{a}) \end{eqnarray}$ Also wenn ich Folgen x nehme die gegen einen Wert a konvergieren dann ist f stetig wenn der Grenzwert der Bildfolgen mit dem Funktionswert an der Stelle a übereinstimmt? Die Funktion g ist schon mal stetig an jeder Stelle $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ als Quotient stetiger Funktionen. Nun betrachte ich die Folge $\begin{eqnarray} (\frac{1}{k}, \frac{1}{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{k \to +\infty} (\frac{1}{k}, \frac{1}{k})_{k \in \mathbb N }=(0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{k \to +\infty} f (\frac{1}{k}, \frac{1}{k})= \lim_{k \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2}n^2 }= 0 \end{eqnarray}$ . Damit wäre die Definition ja erfüllt. Allerdings haben wir das ja so nur für eine Folge gezeigt, daher kann das ja nicht des Rätsels Lösung sein, oder?
16.11.2009, 18:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst es für alle solche Folgen zeigen, das hast du schon richtig erkannt. Dazu sollte man geeignet abschätzen: Es ist $\begin{eqnarray} \left\| \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\| = y^2 \left\| \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right\| \end{eqnarray}$ . Wie kannst du nun den Term im Betrag abschätzen?
16.11.2009, 18:14	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß dass $\begin{eqnarray} 2xy\leq x^2+y^2 \end{eqnarray}$ ist....
16.11.2009, 20:16	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Konnte vorhin leider nicht mehr schreiben, da wir in der Uni aus dem Raum geschmissen wurden... $\begin{eqnarray} \left\| \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\| = y^2 \left\| \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right\|\leq y^2 \left\| \frac{x}{\sqrt{2xy}} \right\|=y^2 \left\| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2y}} \right\|=y^{\frac{3}{2} } \left\| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \right\| \end{eqnarray}$ Wo kommen aber eigentlich die Beträge her? In der ursprünglichen Funktion waren doch gar keine Beträge gegeben. Ist vermutlich wieder sehr trivial, aber ich seh's mal wieder nicht.... Und wieso kann ich hier bei einer Stetigkeitsuntersuchung die Funktion einfach abschätzen ?
16.11.2009, 20:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die offensichtliche Abschätzung $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ so schwer zu sehen? Die Beträge kommen daher, da wir doch am Ende zeigen wollen, dass wenn wir für x und y beliebige Nullfolgen einsetzen, das ganze gegen Null konvergiert. Und dazu betrachtet man bekanntlich immer den Betrag. Immer das Ziel vor Augen halten. Dann hättest du danach nicht fragen müssen
16.11.2009, 20:40	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\| \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\| = y^2 \left\| \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right\|\leq y^2 \left\| \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \right\|=y^2 \end{eqnarray}$ Und das wird für jede beliebige Nullfolge immer Null . Mir war das mit dem Verwenden der Beträge nicht bekannt Uns wurde der Tipp $\begin{eqnarray} 2xy\leq x^2+y^2 \end{eqnarray}$ gegeben, aber der kommt hier gar nicht zum Tragen ....
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16.11.2009, 20:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man unbedingt den Tipp verwenden will, kann man ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}y \end{eqnarray}$ aus dem Betrag rausziehen. Viele Wege führen nach Rom

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