Lipschitz-Bedingung

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Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Bedingung
Hallo,

Meine eigentliche Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung auf dem Intervall besitzt.

Nun muss ich dazu ja den Satz von Picard-Lindelöf (auf einem Streifen) benutzen bzw. zeigen, dass die benötigten Voraussetzungen zutreffen.

Dazu muss ich also zeigen, dass die Funktion stetig ist und eine Lipschitz-Bedingung erfüllt (bzgl. ).

Die Stetigkeit ist mir klar.

Bei der Lipschitz-Bedingung hab ich einfach mal eingesetzt. Allerdings kann ich es nicht soweit vereinfachen, dass eine Lipschitz-Konstante zu erkennen wäre...

Hier meine Schritte bisher:





Und nun steh ich da, hab keine Lipschitz-Konstante und weiß nicht weiter.
(Ich bin sogar eher davon überzeugt, dass es keine Lipschitz-Konstante gibt.)

Deswegen brauch ich eure Hilfe.

Danke
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-Bedingung
kann keiner helfen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-Bedingung
Hallo!

Ob du mit deiner L-Bedingung so zum Ziel kommst, weiß ich nicht. Anhand der Struktur der DGL kannst du eine Lösung jedoch "sehen", das Ganze sieht nämlich wie eine Ableitungsformel für eine Winkelfunktion aus (naja fast; und dann etwas überlegen).

Von da aus lässt sich dann zeigen, dass es die einzige Lösung sein muss.

Grüße Abakus smile

edit: Text
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-Bedingung
Danke für deine Hilfe.

Ja, sieht nach der Ableitung des Tangens aus.



Weil muss sein.
Dies kann man nicht folgern. Folglich muss nicht abgeleitet werden, sondern mit .
Ich kann die Lösung ja auch direkt berechnen mit Substitution.
Für kommt dann raus .

Doch wieso soll dann klar sein, dass dies die einzige Lösung ist? Die einzige Möglichkeit, die ich kenne, eine solche Eindeutigkeit zu zeigen ist der Satz von Picard-Lindelöf, wobei das ja eingentlich eher ein Existenzsatz ist.

LG Max
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-Bedingung
Zitat:
Original von Max Simon
Doch wieso soll dann klar sein, dass dies die einzige Lösung ist? Die einzige Möglichkeit, die ich kenne, eine solche Eindeutigkeit zu zeigen ist der Satz von Picard-Lindelöf, wobei das ja eingentlich eher ein Existenzsatz ist.


Nimm an, es gibt noch eine Lösung . Dann gilt:



Das lässt sich nach auflösen.

Grüße Abakus smile
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