Grenzwerte & Behauptungen

16.11.2009, 17:56

moxox

Grenzwerte & Behauptungen

Hallo,

Ich bräuchte eure Hilfe bei den folgenden 2 Aufgaben. verwirrt

Ich hab keinerlei Ahnung wie ich an diese Aufgaben ran gehen sollte.
Bei 1.1 habe ich versucht aus der Funktion die Ersatzfunktion zu bilden, jedoch gibt es anscheinend keine und deshalb kann ich ja auch nicht

$\begin{eqnarray*} | f(x) - g | < epsilon \end{eqnarray*}$

anwenden, oder?

und zu der 1.2 kann ich gar nichts sagen traurig

hoffe ihr könnt mir das ganze erklären.

MFG

Hier sind die beiden Aufgaben:

Aufgabe 1.1

Gegeben sei f: D -> R;

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2 - 5x - 2}{x-2} \end{eqnarray*}$

D = R \ {2}

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = 7 \end{eqnarray*}$

Überprüfen Sie die Behauptung!

Aufgabe 1.2

Bestimmen Sie die Definitionslücken von f und stellen Sie fest, ob an den
Definitionslücken der Grenzwert vorhanden ist.
Geben Sie diesen gegebenfalls an!
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^2-4x+3}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 18:15

klarsoweit

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RE: Grenzwerte & Behauptungen
Meistens werden solche Aufgaben in der Schule besprochen, so daß du eine gewisse Ahnung haben müßtest.

Bei 1.1 ist x=2 eine Nullstelle vom Zähler, so daß du bei dem Zählerpolynom eine Polynomdivision durch (x-2) machen kannst.

Bei 1.2 solltest du selbst mal nachdenken und konkrete Probleme oder Fragen hier posten.

16.11.2009, 18:35

moxox

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RE: Grenzwerte & Behauptungen

Zitat:

Original von klarsoweit

Bei 1.1 ist x=2 eine Nullstelle vom Zähler, so daß du bei dem Zählerpolynom eine Polynomdivision durch (x-2) machen kannst.

die Polynomdivison ergibt:

$\begin{eqnarray*} 3x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x)-g| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x+1-7| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x-6|< epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3|x-2| <epsilon \end{eqnarray*}$

Aber wars das jetzt schon?
die Behauptung ist ja noch nicht bewiesen?!

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen im Latexcode (klarsoweit)

16.11.2009, 22:32

moxox

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wieder zur 1.2 ^^

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4x+3}{x^2-9} = \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)} =Ersatzfunktion: \frac{x-1}{x+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = R \end{eqnarray*}$ \ { -3; +3}

$\begin{eqnarray*} Nullstellen: \end{eqnarray*}$ N1(1 | 0) und N2(3 | 0)

$\begin{eqnarray*} Polstelle: \end{eqnarray*}$ -3 mit VZW

Vorzeichendiagramm:

[attach]12040[/attach]

$\begin{eqnarray*} x -> -3^{-} = -\infty x -> -3^{+} = +\infty \end{eqnarray*}$

Ist damit die Aufgabe 1.2 (s.o) gelöst oder hab ich noch etwas vergessen?

Schonmal danke für die Antworten.

MFG

Edit:

Ist die Definitionslücke -3 und +3 oder nur -3 ?
und existiert ein Grenzwert? wenn ja welcher? verwirrt

EDIT von Calvin
Grafiken bitte nicht extern verlinken.

16.11.2009, 23:00

matcho

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-3 und 3

edit: wie war das mit der grenzwertberechnung gleich nochmal?
höchste potenz ausklammern...und anschließend die grenzwertgesetze anwenden
folglich müsste deine funktion nen grenzwert bei 1 haben

zum testen einfach mal in den TR eingeben und testen Augenzwinkern

16.11.2009, 23:22

moxox

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Zitat:

Original von matcho
-3 und 3
Freude

ok, danke

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4x+3}{x^2-9}= \frac{x^2( 1 -\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} )}{x^2(1 - \frac{9}{x^2} )} = \frac{1*1}{1 * 1} = 1 \end{eqnarray*}$

Richtig? wenn ja, dann können wir ja wieder zur 1.1 gehen Big Laugh

16.11.2009, 23:25

matcho

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bilde jeweils über und unter dem bruch die erste ableitung und setze den entsprechenden wert (2) ein...was erhälst du?

16.11.2009, 23:35

moxox

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Zitat:

Original von matcho
bilde jeweils über und unter dem bruch die erste ableitung und setze den entsprechenden wert (2) ein...was erhälst du?

du meinst bei der 1.1 ?

erste Ableitung?
hab gerade mal danach gegoogelt.
Hab ich noch nie zuvor gesehn O_o

sicher das man dies anwenden muss?

17.11.2009, 09:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
$\begin{eqnarray*} |f(x)-g| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x+1-7| < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3x-6|< epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3|x-2| <epsilon \end{eqnarray*}$

Aber wars das jetzt schon?
die Behauptung ist ja noch nicht bewiesen?!

Du mußt noch ein delta angeben, so daß für $\begin{eqnarray*} |x-2| < \delta \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)-g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgt.

Alternativ kannst du auch auf 3x+1 Grenzwertsätze anwenden, sofern ihr das dürft.

Zitat:

Original von moxox
Ist die Definitionslücke -3 und +3 oder nur -3 ?
und existiert ein Grenzwert? wenn ja welcher? verwirrt

-3 und +3 sind die Definitionslücken, wobei +3 eine stetig behebbare Definitionslücke ist.

Und Grenzwert für x gegen was?

Zitat:

Original von moxox
erste Ableitung?
hab gerade mal danach gegoogelt.
Hab ich noch nie zuvor gesehn O_o

sicher das man dies anwenden muss?

Nein, muß man nicht. Es geht da um die Regel von l'Hospital, deren Anwendung hier aber völlig überflüssig ist.

17.11.2009, 14:39

moxox

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt noch ein delta angeben, so daß für $\begin{eqnarray*} |x-2| < \delta \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)-g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgt.

warum kann ich die 3 die vor dem Betrag steht weg lassen?

jetzt muss ich ja für Delta irgendeinen beliebigen Wert wählen.

aber warum versteh ich überhaupt nicht.
und wann ist eigentlich bewiesen, dass die Behauptung stimmt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = 7 \end{eqnarray*}$

ist?

Zitat:

Original von klarsoweit
-3 und +3 sind die Definitionslücken, wobei +3 eine stetig behebbare Definitionslücke ist.

Und Grenzwert für x gegen was?

der Grenzwert ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3x^2-5x-2}{x-2} = \frac{x^2 ( 3 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x} ) }{x^2 ( \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} )} = 3 \end{eqnarray*}$

ist der Grenzwert jetzt 3 oder 2? traurig

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

17.11.2009, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
warum kann ich die 3 die vor dem Betrag steht weg lassen?

Kannst du nicht und habe ich auch nicht getan. Ich habe lediglich die Grenzwert-Definition zitiert.

Zitat:

Original von moxox
jetzt muss ich ja für Delta irgendeinen beliebigen Wert wählen.

Nein, du mußt für delta einen von epsilon abhängigen Wert angeben.

Zitat:

Original von moxox
aber warum versteh ich überhaupt nicht.

Da mußt du dir mal ganz intensiv die Grenzwert-Definition anschauen.

Zitat:

Original von moxox
und wann ist eigentlich bewiesen, dass die Behauptung stimmt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = 7 \end{eqnarray*}$

ist?

Eigentlich geht es um $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2}~(3x+1) \end{eqnarray*}$ . Wenn man Grenzwertsätze nutzen darf oder die Stetigkeit von 3x+1, dann kann man für das x die 2 einsetzen und fertig.

Zitat:

Original von moxox
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3x^2-5x-2}{x-2} = \frac{x^2 ( 3 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x} ) }{x^2 ( \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} )} = 3 \end{eqnarray*}$

ist der Grenzwert jetzt 3 oder 2? traurig

Wiederum die Frage: Grenzwert von x gegen was?

17.11.2009, 17:03

moxox

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ich komm hier nicht weiter.

Könnte mal bitte die Aufgabe lösen?

Dann kann ich das auch besser nachvollziehen und wenn ich was nicht verstehen sollte, kann ich ja immer noch fragen.

mfg

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