Quantoren

16.11.2009, 18:10

Dashman

Quantoren

Hallo Leute, wir müssen von der Uni aus Hausaufgaben anfertigen und ich habe bei der folgenden AUfgabe überhaupt keine Idee wie ich das lösen soll. Hoffe ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen.

Aufgabe:
Spezifizieren Sie die folgenden Eigenschaften formal als Formeln miz Quantoren. Verwenden Sie dabei ggf. Hilfsprädikate zur Strukturierung.

a) Die durch p und q gegebene Gleichung x³+px=q besitzt genau eine reelle Lösung.

Danke im Vorraus smile

16.11.2009, 18:11

Zizou66

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code:
1:	[latex]\exists[/latex]

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$

Ist der Existenzquantor. Kannst du nun den Satz vervollständigen?

16.11.2009, 18:27

Jacques

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Hallo,

Was ist überhaupt die konkrete Frage? Augenzwinkern

Dass Du Probleme bei der Aufgabe hast, ist ja nicht sehr aufschlussreich. Hast Du generell Schwierigkeiten, Aussagen zu formalisieren? Gibt es ein Problem bei dieser speziellen Aufgabe, z. B. das Formalisieren von „genau ein“?

16.11.2009, 18:42

Dashman

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x element der natürlichen zahlen : $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ x : x³+px=q

könnte das die Lösung sein?

16.11.2009, 18:51

Jacques

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In der Originalaussage ist von genau einer Lösung die Rede. Du sagst nur aus, dass es überhaupt eine Lösung gibt.Das „genau ein“ kann man so formulieren: Es gibt eine Lösung, und alle Lösungen sind mit dieser identisch.

Noch eine Sache: Die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{N}\colon\exists x \colon x^3 + px = q \end{eqnarray*}$

ist formal nicht korrekt. Es gibt immer ein Prädikat, und davor stehen die Quantoren:

$\begin{eqnarray*} \exists x (x \in \mathbb{N} \wedge\ldots) \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 19:50

Dashman

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also ich versteh einfach nicht wie man das mit der Formel aufschreiben soll. Sprich wie schreib ich auf, dass es genau ein x für diese Gleichung gibt?

16.11.2009, 19:59

Jacques

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Zitat:

Original von Jacques

Das „genau ein“ kann man so formulieren: Es gibt eine Lösung, und alle Lösungen sind mit dieser identisch.

16.11.2009, 21:21

ademischko

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Moin, bin im gleichen Studiengang wie der Dashman.

Meine Vermutung wäre:

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \forall \in \end{eqnarray*}$ x : x³ + px = q .... wobei ich total Schwierigkeiten mit der formellen Geschichte habe... und bei dieser Aufgabe speziell hab ich Schwierigkeiten das so aufzuschreiben wie wie es gewünscht ist...

16.11.2009, 21:37

Jacques

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Diese Lösung ist nicht richtig, denn Du bindest die Variable x doppelt.

Ich würde die Aussage erstmal in Worten formalisieren und nicht direkt mit den Symbolen anfangen:

Es gibt eine natürliche Zahl x, welche die Gleichung x³ + px = q erfüllt und die Eigenschaft hat, dass alle Zahlen, welche die Gleichung erfüllen, mit x identisch sind.

Und weiter formalisiert:

Es gibt ein x, sodass gilt: x ist eine natürliche Zahl, und es ist x³ + px = q, und für alle Zahlen y gilt, wenn y³ + py = q, dann y = x.

16.11.2009, 22:41

ademischko

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Ja und genau das verstehe ich nicht, wo kommt denn das y her. Ich hätte nie ein y da mit reingepackt.. verwirrt

irgendwie steig ich da nich so ganz hinter...

also im ersten Teil hast du gesagt, dass

1. x € N ist
2. diese Gleichung erfüllt... / das versteh ich nicht, wie man sagt es erfüllt die Gleichung... einfach mit einem Doppelpunkt? Oder einfach x € x³ + px = q ?
3. Eigenschaft, dass alle Zahlen, die die Gleichung erfüllen = x sind. Kann man denn hieraus sagen x = y? oder wo kommt dieses y her..?

und da hab ich gleich noch eine Frage. Wieso kann man das so erklären, dass man sagt es gibt eine Lösung und alle anderen sind identisch? Könnte man die Frage auch so verstehen: Es gibt genau eine Lösung, unzwar wenn das x in den Reellen Zahlen ist und somit wären alle anderen Lösungen nicht identisch mit der einen, weil z.B. eine Lösung in den Rationalen Zahlen liegen kann ... Falls ich es nicht richtig ausdrücken konnte einfach wieder vergessen...

hab auch gerade gesehen das du zum Schluss x = y geschrieben hast... dann müsste sich meine erste Frage eigentlich auch geklärt haben...

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \exists x \colon x \in \mathbb N \wedge x \in x^3 + px = q \wedge \forall x \colon y^3 + py = q \Rightarrow y=x \end{eqnarray*}$

so denn richtig? Ist ja genau das was du in Worte gefasst hast.

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