Vergleichen von Komplexen Zahlen

16.11.2009, 18:14

Graf_Love

Vergleichen von Komplexen Zahlen

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}z^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z| > 1 \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z| < 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (z \in \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ .

So lautet meine Aufgabe. Ich könnte sie lösen, wenn ich zeigen könnte, wann mit der Bedingung |z| > 1 bzw. a²>1-b² gelten würde, dass z²= a²-b²+2abi > z ist. Aber wann sit eine komplexe Zahl größer als eine andere, da sie ja zweidimensional ist?
Was ist größer, 3+4i oder 4+3i?
Was ist größer, 7+5i oder 2+8i?

Bitte helft mir :-(

16.11.2009, 18:32

lgrizu

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen
wir können eine komplexe zahl auch als vektor darstellen, zum beispiel entspricht z=3+4i dem Punkt (3,4) in der gaussschen zahlenebene.
wie ist denn der betrag eines vektors definiert?
stichwort euklidsche norm.

16.11.2009, 18:45

Graf_Love

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen
Der Betrag von z ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{(a^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ , so komme ich ja auf a²>1-b²
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a^2+b^2)}<1 \end{eqnarray*}$ |()²
$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2)<1 \end{eqnarray*}$ |- b²
$\begin{eqnarray*} (a^2)<1-b^2 \end{eqnarray*}$

Das hilft mir leider auch nicht weiter.
:-(

16.11.2009, 18:54

lgrizu

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen
naja, wenigstens die frage, ob 3+4i nen grösseren betrag als 4+3i hat sollte sie dir schon beantworten;
aber betrachte doch mal
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}+b^{2}} < 1 \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt{a^{2}+b^{2}}) ^{1}< (\sqrt{a^{2}+b^{2}} )^{2}<....< (\sqrt{a^{2}+b^{2}} )^{n} \end{eqnarray*}$
damit ist die folge monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt, also konvergent nach monotoniekriterium.
nun sei a der grenzwert, wie muss a aussehen?
kleiner tip:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | z |^{n}= \lim_{n \to \infty } | z |^{n+1} \end{eqnarray*}$
analog kann man die divergenz zeigen.

16.11.2009, 23:50

Graf_Love

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen
Das erklärt sehr viel über den Betrag und WÜRDE mein Problem lösen - wenn es um den Betrag und nicht die Zahl selber gehen würde :-D Aber leider ist meine Folge $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} |z|^n \end{eqnarray*}$ - oder heißt das etwa dasselbe?

17.11.2009, 00:08

stereo

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Graf_Love
Aber wann sit eine komplexe Zahl größer als eine andere, da sie ja zweidimensional ist?
Was ist größer, 3+4i oder 4+3i?
Was ist größer, 7+5i oder 2+8i?

Kurzer Einwurf:

Es gibt keine Ordnugsrelationen im Komplexen (sowie im R^n). Wie du selber festgestellt hast, gibt es keine geeignete Definition um Zahlenpaare sinnvoll zu vergleichen.

Deswegen definiert man sich Normen die in die reellen Zahlen abbilden, dadurch ist es möglich Zahlenpaare zu vergleichen.

17.11.2009, 00:10

Graf_Love

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RE: Vergleichen von Komplexen Zahlen
Also ist $\begin{eqnarray*} |\lim_{n\rightarrow\infty}z^n| = \lim_{n\rightarrow\infty}|z^n| \end{eqnarray*}$ ? Das hilft wirklich. :-) Danke!

Edit: Und auch danke Stereo!

17.11.2009, 00:18

stereo

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Das glaub ich nicht, dass das so stimmt. Wenn ich ehrlich bin weiß ich es aber auch nicht.

Viel eher sollte dir das Helfen:

Wenn der Betrag einer komplexen Zahl gegen 0 geht, gegen welches Zahlenpaar konvergiert dann die komplexe Zahl?

Also man kann folgenden zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} z^n = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} |z|^n = 0 \end{eqnarray*}$

Analoge Überlegungen kannst du dir auch zu der Divergenz machen, wenn der Betrag einer komplexen Zahl gegen unendlich strebt, was passiert dann mit dem Zahlenpaar ( konvergiert dieses? ) ?

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